In this paper we prove that a bounded pseudo-differential operator \( T_{\sigma }: L^{p}({\mathbb {S}}^{1}) \rightarrow L^{p}({\mathbb {S}}^{1}) \) for \( 1\le p<\infty \), is a Separation-Preserving operator and give a formula for its symbols \( \sigma \). Using these formulas we give a new representation for the symbol of adjoint and products of two pseudo-differential operators.

中文翻译：

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基于保留分离算子的$$ {\ mathbb {S}} ^ {1} $$ S 1上的伪微分算子

本文证明了有界伪微分算子\（T _ {\ sigma}：L ^ {p}（{\ mathbb {S}} ^ {1}）\ rightarrow L ^ {p}（{\ mathbb { S}} ^ {1}）\）为\（1个\文件p <\ infty \） ，是一个分离-保操作者和得到式为它的符号\（\西格玛\） 。使用这些公式，我们给出了伴随符号和两个伪微分算子的乘积的新表示形式。