We present a detailed study of the topological properties of the Kitaev chain with long-range pairing terms and in the presence of an Aubry-André-Harper on-site potential. Specifically, we consider algebraically decaying superconducting pairing amplitudes; the exponent of this decay is found to determine a critical pairing strength, below which the chain remains topologically trivial. Above the critical pairing, topological edge modes are observed in the central gap. For sufficiently fast decay of the pairing, these modes are identified as Majorana zero modes. However, if the pairing term decays slowly, the modes become massive Dirac modes. Interestingly, these massive modes still exhibit a true level crossing at zero energy, which points towards an intimate relation to Majorana physics. We also observe a clear lack of bulk-boundary correspondence in the long-range system, where bulk topological invariants remain constant, while dramatic changes appear in the behavior at the edge of the system. In addition to the central gap around zero energy, the Aubry-André-Harper potential also leads to other energy gaps at nonzero energy. As for the analogous short-range model, the edge modes in these gaps can be characterized through a 2D Chern invariant. However, in contrast to the short-range model, this topological invariant does not correspond to the number of edge mode crossings anymore. This provides another example of the weakening of the bulk-boundary correspondence occurring in this model. Finally, we discuss possible realizations of the model with ultracold atoms and condensed matter systems.

中文翻译：

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具有Aubry-André-Harper调制的远程Kitaev链的拓扑特性

我们提出了对Kitaev链的拓扑特性的详细研究，它具有远程配对条件，并且存在Aubry-André-Harper现场潜力。具体来说，我们考虑代数衰减的超导对振幅；发现该衰变的指数决定了关键的配对强度，低于该强度时，链在拓扑上仍然微不足道。在临界配对之上，在中央间隙中观察到拓扑边缘模式。为了使配对足够快地衰减，这些模式被识别为马约拉纳零模式。但是，如果配对项衰减缓慢，则这些模式将变成大量的狄拉克模式。有趣的是，这些大规模模式仍然在零能量下显示出真实的能级交叉，这表明与马约拉纳物理学有着密切的联系。我们还观察到在远距离系统中明显缺乏体边界对应关系，在该系统中，体拓扑不变性保持不变，而系统边缘的行为却出现了显着变化。除了零能量附近的中心能隙外，Aubry-André-Harper势还导致非零能量下的其他能隙。对于类似的短程模型，这些间隙中的边缘模式可以通过二维Chern不变来表征。然而，与短距离模型相比，该拓扑不变性不再对应于边缘模式交叉的数量。这提供了另一个弱化此模型中发生的体边界对应的示例。最后，我们讨论了具有超冷原子和凝聚态系统的模型的可能实现。总体拓扑不变量保持恒定，而系统边缘的行为则出现了显着变化。除了零能量附近的中心能隙外，Aubry-André-Harper势还导致非零能量下的其他能隙。对于类似的短程模型，这些间隙中的边缘模式可以通过二维Chern不变来表征。然而，与短距离模型相比，该拓扑不变性不再对应于边缘模式交叉的数量。这提供了另一个弱化此模型中发生的体边界对应的示例。最后，我们讨论了具有超冷原子和凝聚态系统的模型的可能实现。总体拓扑不变量保持恒定，而系统边缘的行为则出现了显着变化。除了零能量附近的中心能隙外，Aubry-André-Harper势还导致非零能量下的其他能隙。对于类似的短程模型，这些间隙中的边缘模式可以通过二维Chern不变来表征。然而，与短距离模型相比，该拓扑不变性不再对应于边缘模式交叉的数量。这提供了另一个弱化此模型中发生的体边界对应的示例。最后，我们讨论了具有超冷原子和凝聚态系统的模型的可能实现。除了零能量附近的中心能隙外，Aubry-André-Harper势还导致非零能量下的其他能隙。对于类似的短程模型，这些间隙中的边缘模式可以通过二维Chern不变来表征。然而，与短距离模型相比，该拓扑不变性不再对应于边缘模式交叉的数量。这提供了另一个弱化此模型中发生的体边界对应的示例。最后，我们讨论了具有超冷原子和凝聚态系统的模型的可能实现。除了零能量附近的中心能隙外，Aubry-André-Harper势还导致非零能量下的其他能隙。对于类似的短程模型，这些间隙中的边缘模式可以通过二维Chern不变来表征。然而，与短距离模型相比，该拓扑不变性不再对应于边缘模式交叉的数量。这提供了另一个弱化此模型中发生的体边界对应的示例。最后，我们讨论了具有超冷原子和凝聚态系统的模型的可能实现。与短距离模型相比，该拓扑不变性不再对应于边缘模式交叉的数量。这提供了另一个弱化此模型中发生的体边界对应的示例。最后，我们讨论了具有超冷原子和凝聚态系统的模型的可能实现。与短距离模型相比，该拓扑不变性不再对应于边缘模式交叉的数量。这提供了另一个弱化此模型中发生的体边界对应的示例。最后，我们讨论了具有超冷原子和凝聚态系统的模型的可能实现。