For a Tychonoff space X the free Abelian topological group over X, denoted $A(X)$, is the free Abelian group on the set X with the coarsest topology so that for any continuous map of X into an Abelian topological group its canonical extension to a homomorphism on $A(X)$ is continuous.

We show there is a family $\mathcal{A}$ of maximal size, $2^{\mathfrak{c}}$, consisting of separable metrizable spaces, such that if M and N are distinct members of $\mathcal{A}$ then $A(M)$ and $A(N)$ are not topologically isomorphic (moreover, $A(M)$ neither embeds topologically in $A(N)$ nor is an open image of $A(N)$). We show there is a chain $\mathcal{C}=\{M_{\alpha }:\alpha <{\mathfrak{c}}^{+}\}$, of maximal size, of separable metrizable spaces such that if $\beta <\alpha$ then $A(M_{\beta })$ embeds as a closed subgroup of $A(M_{\alpha })$ but no subspace of $A(M_{\beta })$ is homeomorphic to $A(M_{\alpha })$.

We show that the character (minimal size of a local base at 0) of $A(M)$ is $\mathfrak{d}$ (minimal size of a cofinal set in ${\mathbb{N}}^{\mathbb{N}}$) for every non-discrete, analytic M, but consistently there is a co-analytic M such that the character of $A(M)$ is strictly above $\mathfrak{d}$.

The main tool used for these results is the Tukey order on the neighborhood filter at 0 in an $A(X)$, and a connection with the family of compact subsets of an auxiliary space.

对于吉洪诺夫空间X的游离阿贝尔拓扑群超过X，表示为$\mathrm{一种}（X）$，是集合X上具有最粗糙拓扑的自由Abelian群，因此对于X到Abelian拓扑群的任何连续映射，其正规扩展为$\mathrm{一种}（X）$ 是连续的。

我们证明有一个家庭 $\mathcal{一种}$ 最大尺寸 $2^{\mathfrak{C}}$，由可分离的可量化空间组成，因此，如果M和N是$\mathcal{一种}$ 然后 $\mathrm{一种}（\mathrm{中号}）$ 和 $\mathrm{一种}（ñ）$ 不是拓扑同构的（此外， $\mathrm{一种}（\mathrm{中号}）$ 都没有拓扑嵌入 $\mathrm{一种}（ñ）$ 也不是 $\mathrm{一种}（ñ）$）。我们显示有一个链$\mathcal{C}=\{{\mathrm{中号}}_{\alpha }：\alpha <{\mathfrak{C}}^{+}\}$，最大大小，可分离的可量化空间，例如 $\beta <\alpha$ 然后 $\mathrm{一种}（{\mathrm{中号}}_{\beta }）$ 嵌入为的封闭子组 $\mathrm{一种}（{\mathrm{中号}}_{\alpha }）$ 但没有子空间 $\mathrm{一种}（{\mathrm{中号}}_{\beta }）$ 是同胚的 $\mathrm{一种}（{\mathrm{中号}}_{\alpha }）$。

我们证明了该字符（本地底数的最小大小为0） $\mathrm{一种}（\mathrm{中号}）$ 是 $\mathfrak{d}$ （在 ${\mathbb{ñ}}^{\mathbb{ñ}}$）对于每个非离散分析M，但始终存在一个协分析M，使得$\mathrm{一种}（\mathrm{中号}）$ 严格以上 $\mathfrak{d}$。

这些结果使用的主要工具是在 $\mathrm{一种}（X）$，以及与辅助空间的紧凑子集族的连接。