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Recognizability of languages via deterministic finite automata with values on a monoid: General Myhill-Nerode Theorem
arXiv - CS - Formal Languages and Automata Theory Pub Date : 2021-02-11 , DOI: arxiv-2102.05968 José Ramón González de Mendívil, Federico Fariña
arXiv - CS - Formal Languages and Automata Theory Pub Date : 2021-02-11 , DOI: arxiv-2102.05968 José Ramón González de Mendívil, Federico Fariña
This paper deals with the problem of recognizability of functions l: Sigma*
--> M that map words to values in the support set M of a monoid (M,.,1). These
functions are called M-languages. M-languages are studied from the aspect of
their recognition by deterministic finite automata whose components take values
on M (M-DFAs). The characterization of an M-language l is based on providing a
right congruence on Sigma* that is defined through l and a factorization on the
set of all M-languages, L(Sigma*,M) (in sort L). A factorization on L is a pair
of functions (g,f) such that, for each l in L, g(l). f(l)= l, where g(l) in M
and f(l) in L. In essence, a factorization is a form of common factor
extraction. A general Myhill-Nerode theorem, which is valid for any L(Sigma*,
M), is provided. Basically, l is recognized by an M-DFA if and only if there
exists a factorization on L, (g,f), such that the right congruence on Sigma*
induced by the factorization (g,f) and f(l), has finite index. This paper shows
that the existence of M-DFAs guarantees the existence of natural non-trivial
factorizations on L without taking account any additional property on the
monoid.
中文翻译:
通过具确定性的有限自动机对语言进行可识别性,其确定值在一个半群上:一般的Myhill-Nerode定理
本文讨论了函数l的可识别性问题:Sigma *-> M,该函数将单词映射到一个等分体(M,。,1)的支持集M中的值。这些功能称为M语言。从确定性有限自动机的角度对M语言进行了研究,确定性自动机的成分取M值(M-DFA)。M语言l的表征基于对通过l定义的Sigma *提供正确的一致性,以及对所有M语言L(Sigma *,M)的集合(在L类中)进行因式分解。对L的因式分解是一对函数(g,f),这样,对于L中的每个l,g(l)。f(l)= l,其中M中的g(l)和L中的f(l)。本质上,因式分解是公因子提取的一种形式。提供了适用于任何L(Sigma *,M)的通用Myhill-Nerode定理。基本上,当且仅当在L(g,f)上存在因式分解时,M DFA才识别l,使得因因式分解(g,f)和f(l)引起的Sigma *的正确同余性是有限的指数。本文表明,M-DFA的存在保证了L上自然非平凡因式分解的存在,而没有考虑到类半群上的任何其他性质。
更新日期:2021-02-12
中文翻译:
通过具确定性的有限自动机对语言进行可识别性,其确定值在一个半群上:一般的Myhill-Nerode定理
本文讨论了函数l的可识别性问题:Sigma *-> M,该函数将单词映射到一个等分体(M,。,1)的支持集M中的值。这些功能称为M语言。从确定性有限自动机的角度对M语言进行了研究,确定性自动机的成分取M值(M-DFA)。M语言l的表征基于对通过l定义的Sigma *提供正确的一致性,以及对所有M语言L(Sigma *,M)的集合(在L类中)进行因式分解。对L的因式分解是一对函数(g,f),这样,对于L中的每个l,g(l)。f(l)= l,其中M中的g(l)和L中的f(l)。本质上,因式分解是公因子提取的一种形式。提供了适用于任何L(Sigma *,M)的通用Myhill-Nerode定理。基本上,当且仅当在L(g,f)上存在因式分解时,M DFA才识别l,使得因因式分解(g,f)和f(l)引起的Sigma *的正确同余性是有限的指数。本文表明,M-DFA的存在保证了L上自然非平凡因式分解的存在,而没有考虑到类半群上的任何其他性质。