SIAM Journal on Discrete Mathematics, Volume 35, Issue 1, Page 179-193, January 2021.
BCH codes are among the best practical cyclic codes widely used in consumer electronics, communication systems, and storage devices. However, not much is known about BCH codes with large minimum distance. In this paper, we consider narrow-sense BCH codes of length $n = \frac{q^m-1}{N}$ with designed distance $\delta = \frac{s}{q-1}n$ proportional to $n$, where $N$ divides $\frac{q^m-1}{q-1}$ and $1 \le s \le q-1$. We determine both their dimensions and minimum distances. In particular, when $N=1$, the codes are primitive, with minimum distance $d=\frac{s}{q-1}(q^m-1)$ and dimension $k = (q-s)^m$. The general result on code dimensions is achieved by applying generating functions and inverse discrete Fourier transforms to an enumeration problem.

中文翻译：

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具有与代码长度成比例的最小距离的 BCH 代码

SIAM 离散数学杂志，第 35 卷，第 1 期，第 179-193 页，2021 年 1 月。
BCH 码是广泛用于消费电子、通信系统和存储设备的最佳实用循环码之一。然而，对于具有大的最小距离的 BCH 码知之甚少。在本文中，我们考虑长度为 $n = \frac{q^m-1}{N}$ 的窄义 BCH 码，其设计距离 $\delta = \frac{s}{q-1}n$ $n$，其中 $N$ 除以 $\frac{q^m-1}{q-1}$ 和 $1 \le s \le q-1$。我们确定它们的尺寸和最小距离。特别地，当 $N=1$ 时，代码是原始的，最小距离 $d=\frac{s}{q-1}(q^m-1)$ 和维度 $k = (qs)^m$ . 通过将生成函数和逆离散傅立叶变换应用于枚举问题，可以获得关于代码维度的一般结果。