Abstract In this paper, we examine the evolution of a specific mathematical problem, i.e. the nine-point conic, a generalisation of the nine-point circle due to Steiner. We will follow this evolution from Steiner to the Neapolitan school (Trudi and Battaglini) and finally to the contribution of Beltrami that closed this journey, at least from a mathematical point of view (scholars of elementary geometry, in fact, will continue to resume the problem from the second half of the 19th to the beginning of the 20th century). We believe that such evolution may indicate the steady development of the mathematical methods from Euclidean metric to projective, and finally, with Beltrami, with the use of quadratic transformations. In this sense, the work of Beltrami appears similar to the recent (after the anticipations of Magnus and Steiner) results of Schiaparelli and Cremona. Moreover, Beltrami's methods are closely related to the study of birational transformations, which in the same period were becoming one of the main topics of algebraic geometry. Finally, our work emphasises the role played by the nine-point conic problem in the studies of young Beltrami who, under Cremona's guidance, was then developing his mathematical skills. To this end, we make considerable use of the unedited correspondence Beltrami – Cremona, preserved in the Istituto Mazziniano, Genoa.

中文翻译：

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九点圆锥曲线的历史渊源。欧金尼奥·贝尔特拉米的贡献

摘要 在本文中，我们研究了一个特定数学问题的演变，即九点圆锥曲线，这是由于施泰纳的九点圆的推广。我们将遵循从施泰纳到那不勒斯学派（特鲁迪和巴塔格利尼）的这种演变，以及最终结束这一旅程的贝尔特拉米的贡献，至少从数学的角度来看（事实上，初等几何学者将继续19 世纪下半叶到 20 世纪初的问题）。我们相信，这种演变可能表明数学方法从欧几里得度量到投影，最后是贝尔特拉米（Beltrami）使用二次变换的稳步发展。在这个意义上，Beltrami 的工作似乎与 Schiaparelli 和 Cremona 最近（在 Magnus 和 Steiner 的预期之后）的结果相似。此外，贝尔特拉米的方法与双有理变换的研究密切相关，这在同一时期正成为代数几何的主要课题之一。最后，我们的工作强调了九点圆锥问题在对年轻的贝尔特拉米的研究中所起的作用，贝尔特拉米当时在克雷莫纳的指导下正在发展他的数学技能。为此，我们大量使用了保存在热那亚 Istituto Mazziniano 的未经编辑的信件贝尔特拉米 – 克雷莫纳。我们的工作强调了九点圆锥问题在对年轻的贝尔特拉米的研究中所起的作用，贝尔特拉米当时在克雷莫纳的指导下正在发展他的数学技能。为此，我们大量使用了保存在热那亚 Istituto Mazziniano 的未经编辑的信件贝尔特拉米 – 克雷莫纳。我们的工作强调了九点圆锥问题在对年轻的贝尔特拉米的研究中所起的作用，贝尔特拉米当时在克雷莫纳的指导下正在发展他的数学技能。为此，我们大量使用了保存在热那亚 Istituto Mazziniano 的未经编辑的信件贝尔特拉米 – 克雷莫纳。