Let a and h be positive integers and let p be a prime. Let $q_1,\dots ,q_t$ be the distinct prime divisors of h and write $\mathcal{Q}(h)=\{{\sum }_{i=1}^t{c}_i{q}_i:c_i\in \mathbb{Z},c_i\ge 0\}$. We provide constructions of group invariant Butson Hadamard matrices $\mathrm{BH}(G,h)$ in the following cases.

1.

$G={({\mathbb{Z}}_p)}^{2a}$ and at least one of the following conditions is satisfied.

•

$p^a\in \mathcal{Q}(h)$,

•

$p^a+2\in \mathcal{Q}(h)$ and h is even,

•

$p^a+1=(q_1-1)(q_2-1)$ where $q_1$ and $q_2$ are distinct prime divisors of h.

2.

$G={\mathbb{Z}}_{p^a}\times {\mathbb{Z}}_{p^a}$ and $p-1,p\in \mathcal{Q}(h)$.

3.

$G={({\mathbb{Z}}_{p^2})}^a$ and $p^b\in \mathcal{Q}(h)$ for some divisor b of a with $1\le b<a$.

4.

$G=P\times {\mathbb{Z}}_p^a$ where P is any abelian group of order $p^a$ and $p\in \mathcal{Q}(h)$.

令a和h为正整数，令p为素数。让$q_{\mathrm{1个}}，\dots ，q_{Ť}$是的相异素因子^ h和写$\mathcal{问}（H）=\{{\sum }_{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{Ť}{C}_{\mathrm{一世}}{q}_{\mathrm{一世}}：C_{\mathrm{一世}}\in \mathbb{ž}，C_{\mathrm{一世}}\ge 0\}$。我们提供群不变的Butson Hadamard矩阵的构造$\mathrm{BH}（G，H）$ 在以下情况下。

1。

$G={（{\mathbb{ž}}_p）}^{2\mathrm{一个}}$ 并且至少满足以下条件之一。

•

$p^{\mathrm{一个}}\in \mathcal{问}（H）$，

•

$p^{\mathrm{一个}}+2\in \mathcal{问}（H）$而h是偶数

•

$p^{\mathrm{一个}}+\mathrm{1个}=（q_{\mathrm{1个}}-\mathrm{1个}）（q_2-\mathrm{1个}）$ 哪里 $q_{\mathrm{1个}}$ 和 $q_2$是h的不同素数。

2。

$G={\mathbb{ž}}_{p^{\mathrm{一个}}}\times {\mathbb{ž}}_{p^{\mathrm{一个}}}$ 和 $p-\mathrm{1个}，p\in \mathcal{问}（H）$。

3。

$G={（{\mathbb{ž}}_{p^2}）}^{\mathrm{一个}}$ 和 $p^b\in \mathcal{问}（H）$对于一些除数b的一个与$\mathrm{1个}\le b<\mathrm{一个}$。

4。

$G=P\times {\mathbb{ž}}_p^{\mathrm{一个}}$其中P是任何阿贝尔阶组$p^{\mathrm{一个}}$ 和 $p\in \mathcal{问}（H）$。