Urban expansion across the globe accelerates land cover change and significantly influences the environment and human beings. Measuring the urban expansion process can help us better understand urban expansion dynamics and contribute to urban growth simulation and spatial planning. By using urban land density (defined as the proportion of the built-up area to the buildable area) as a spatial variable, we propose a new model to fit urban land density from the city center outwards (distance-decay rule), based on the assumption that urban shapes are formulated by the accumulation of micro-processes of urban growth. The model is based on simple math with only two parameters that clearly denote urban process characteristics. Using a sample set of 112 large cities around the world at three time points (1990, 2000, and 2014), the proposed model fitted urban expansion data very well, verifying its applicability. One parameter in the model that describes the density gradient can be used to measure the compactness of a city. The model can be easily extended to fit the intermediate process of a given time span and provide a clear indicator of the compactness of the process. The results of our case study clearly show disparities of global cities in terms of urban land compactness. For example, cities in Latin America and the Caribbean are the most compact, cities in Europe and East Asia are moderately compact, and cites in the United States, Canada, and Australia are the most sprawling. Furthermore, we identified a path dependence of urban expansion patterns as well as uneven compactness change trajectories in rapidly urbanizing areas.

全球城市扩张加速了土地覆盖的变化，并极大地影响了环境和人类。测量城市扩张过程可以帮助我们更好地了解城市扩张动态，并有助于模拟城市增长和空间规划。通过使用城市土地密度（定义为建筑面积与可建筑面积的比例）作为空间变量，我们提出了一个新模型，该模型基于以下特征从城市中心向外拟合城市土地密度（距离-衰减规则）假设城市形态是由城市增长的微观过程的积累形成的。该模型基于简单的数学模型，只有两个参数清楚地表明了城市过程的特征。以三个时间点（1990年，2000年和2014年）的112个大城市为样本，该模型很好地拟合了城市扩展数据，验证了其适用性。描述密度梯度的模型中的一个参数可用于测量城市的紧凑度。该模型可以轻松扩展以适合给定时间跨度的中间过程，并提供过程紧凑性的清晰指标。我们的案例研究结果清楚地显示了全球城市在城市土地紧实度方面的差异。例如，拉丁美洲和加勒比海的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市相对紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则最为庞大。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区的不均匀密实度变化轨迹。验证其适用性。描述密度梯度的模型中的一个参数可用于测量城市的紧凑度。该模型可以轻松扩展以适合给定时间范围的中间过程，并提供过程紧凑性的清晰指标。我们的案例研究结果清楚地显示了全球城市在城市土地紧实度方面的差异。例如，拉丁美洲和加勒比海的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市相对紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则最为庞大。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区的不均匀密实度变化轨迹。验证其适用性。描述密度梯度的模型中的一个参数可用于测量城市的紧凑度。该模型可以轻松扩展以适合给定时间范围的中间过程，并提供过程紧凑性的清晰指标。我们的案例研究结果清楚地显示了全球城市在城市土地紧实度方面的差异。例如，拉丁美洲和加勒比海的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市相对紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则最为庞大。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区的不均匀密实度变化轨迹。描述密度梯度的模型中的一个参数可用于测量城市的紧凑度。该模型可以轻松扩展以适合给定时间范围的中间过程，并提供过程紧凑性的清晰指标。我们的案例研究结果清楚地显示了全球城市在城市土地紧实度方面的差异。例如，拉丁美洲和加勒比海的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市相对紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则最为庞大。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区的不均匀密实度变化轨迹。描述密度梯度的模型中的一个参数可用于测量城市的紧凑度。该模型可以轻松扩展以适合给定时间范围的中间过程，并提供过程紧凑性的清晰指标。我们的案例研究结果清楚地显示了全球城市在城市土地紧实度方面的差异。例如，拉丁美洲和加勒比海的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市相对紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则最为庞大。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区不均匀的紧度变化轨迹。该模型可以轻松扩展以适合给定时间范围的中间过程，并提供过程紧凑性的清晰指标。我们的案例研究结果清楚地显示了全球城市在城市土地紧实度方面的差异。例如，拉丁美洲和加勒比海的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市相对紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则最为庞大。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区的不均匀密实度变化轨迹。该模型可以轻松扩展以适合给定时间范围的中间过程，并提供过程紧凑性的清晰指标。我们的案例研究结果清楚地显示了全球城市在城市土地紧实度方面的差异。例如，拉丁美洲和加勒比海的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市相对紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则最为庞大。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区的不均匀密实度变化轨迹。拉丁美洲和加勒比海地区的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市较为紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则分布最为广泛。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区不均匀的紧度变化轨迹。拉丁美洲和加勒比海地区的城市最为紧凑，欧洲和东亚的城市较为紧凑，而美国，加拿大和澳大利亚的城市则分布最为广泛。此外，我们确定了城市扩张模式的路径依赖性以及快速城市化地区的不均匀密实度变化轨迹。