We provide quantitative estimates for the supremum of the Hausdorff dimension of sets in the real line which avoid \(\varepsilon \)-approximations of arithmetic progressions. Some of these estimates are in terms of Szemerédi bounds. In particular, we answer a question of Fraser, Saito and Yu (IMRN 14:4419–4430, 2019) and considerably improve their bounds. We also show that Hausdorff dimension is equivalent to box or Assouad dimension for this problem, and obtain a lower bound for Fourier dimension.

中文翻译：

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避免近似算术级数的集合维上的改进边界

我们为实线中集合的Hausdorff维数的最大值提供了定量估计，从而避免了\（\ varepsilon \） -算术级数的逼近。其中一些估计是根据Szemerédi界线。尤其是，我们回答了弗雷泽（Fraser），斋藤（Saito）和尤（Yu）的问题（IMRN 14：4419–4430，2019），并大大改善了他们的界限。我们还表明，对于这个问题，Hausdorff维数等于Box或Assouad维数，并获得Fourier维数的下界。