Proof of a conjecture of Wiegold for nilpotent Lie algebras,Sbornik: Mathematics

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Proof of a conjecture of Wiegold for nilpotent Lie algebras
Sbornik: Mathematics ( IF 0.8 ) Pub Date : 2021-02-09 , DOI: 10.1070/sm9350
A. A. Skutin ₁

Affiliation

Let $\mathfrak{g}$ be a nilpotent Lie algebra. By the breadth $b(x)$ of an element $x$ of $\mathfrak{g}$ we mean the number $[\mathfrak{g}:C_{\mathfrak{g}}(x)]$ . Vaughan-Lee showed that if the breadth of all elements of the Lie algebra $\mathfrak{g}$ is bounded by a number $n$ , then the dimension of the commutator subalgebra of the Lie algebra does not exceed $n(n+1)/2$ . We show that if $\dim \mathfrak{g'} > n(n+1)/2$ for some nonnegative $n$ , then the Lie algebra $\mathfrak{g}$ is generated by the elements of breadth $>n$ , and thus we prove a conjecture due to Wiegold (Question 4.69 in the Kourovka Notebook) in the case of nilpotent Lie algebras.

Bibliography: 4 titles.

中文翻译：

幂零李代数的 Wiegold 猜想的证明

让我们 $\mathfrak{g}$ 成为一个幂零的李代数。通过广度 $b(x)$ 元素 $x$ 的 $\mathfrak{g}$ 我们指的是数量 $[\mathfrak{g}:C_{\mathfrak{g}}(x)]$ 。Vaughan-Lee 证明，如果李代数的所有元素的宽度都 $\mathfrak{g}$ 以一个数为界 $n$ ，那么李代数的交换子子代数的维数不超过 $n(n+1)/2$ 。我们证明，如果 $\dim \mathfrak{g'} > n(n+1)/2$ 对于某些非负 $n$ ，那么李代数 $\mathfrak{g}$ 是由广度的元素生成的 $>n$ ，因此我们证明了在幂零李代数的情况下由于 Wiegold（Kourovka Notebook 中的问题 4.69）的一个猜想。

参考书目：4个标题。

更新日期：2021-02-09

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