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A Dynamic Data Structure for Temporal Reachability with Unsorted Contact Insertions
arXiv - CS - Computational Complexity Pub Date : 2021-02-08 , DOI: arxiv-2102.04187 Luiz F. Afra Brito, Marcelo Albertini, Arnaud Casteigts, Bruno A. N. Travençolo
arXiv - CS - Computational Complexity Pub Date : 2021-02-08 , DOI: arxiv-2102.04187 Luiz F. Afra Brito, Marcelo Albertini, Arnaud Casteigts, Bruno A. N. Travençolo
Temporal graphs represent interactions between entities over the time. These
interactions may be direct (a contact between two nodes at some time instant),
or indirect, through sequences of contacts called temporal paths (journeys).
Deciding whether an entity can reach another through a journey is useful for
various applications in communication networks and epidemiology, among other
fields. In this paper, we present a data structure which maintains temporal
reachability information under the addition of new contacts (i.e., triplets
$(u,v,t)$ indicating that node $u$ and node $v$ interacted at time $t$). In
contrast to previous works, the contacts can be inserted in arbitrary order --
in particular, non-chronologically -- which corresponds to systems where the
information is collected a posteriori (e.g. when trying to reconstruct
contamination chains among people). The main component of our data structure is
a generalization of transitive closure called timed transitive closure (TTC),
which allows us to maintain reachability information relative to all nested
time intervals, without storing all these intervals, nor the journeys
themselves. TTCs are of independent interest and we study a number of their
general properties. Let $n$ be the number of nodes and $\tau$ be the number of
timestamps in the lifetime of the temporal graph. Our data structure answers
reachability queries regarding the existence of a journey from a given node to
another within given time interval in time $O(\log\tau)$; it has an amortized
insertion time of $O(n^2\log\tau)$; and it can reconstruct a valid journey that
witnesses reachability in time $O(k\log\tau)$, where $k
中文翻译：
具有未排序联系人插入的时间可达性的动态数据结构
时间图表示一段时间内实体之间的交互。这些交互可以是直接的（在某个时刻在两个节点之间进行接触），也可以是通过称为时间路径（旅程）的接触序列间接进行的。决定一个实体是否可以通过旅程到达另一个实体对于通信网络和流行病学等领域的各种应用很有用。在本文中，我们提出了一个数据结构，该结构在添加新联系人（即三元组$ {u，v，t）$表示节点$ u $和节点$ v $在时间$ t $进行交互的情况下维护了时间可达性信息。 ）。与以前的作品相比，可以按任意顺序（尤其是非按时间顺序）插入联系人，这对应于后代收集信息的系统（例如 在尝试重建人与人之间的污染链时）。数据结构的主要组成部分是称为时间传递闭包（TTC）的传递闭包的一般化，它使我们能够相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或行程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 数据结构的主要组成部分是称为时间传递闭包（TTC）的传递闭包的一般化，它使我们能够相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或行程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 数据结构的主要组成部分是称为时间传递闭包（TTC）的传递闭包的一般化，它使我们能够相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或行程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 这样一来，我们就可以相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或旅程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 这样一来，我们就可以相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或旅程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k
更新日期：2021-02-09
中文翻译：
具有未排序联系人插入的时间可达性的动态数据结构
时间图表示一段时间内实体之间的交互。这些交互可以是直接的（在某个时刻在两个节点之间进行接触），也可以是通过称为时间路径（旅程）的接触序列间接进行的。决定一个实体是否可以通过旅程到达另一个实体对于通信网络和流行病学等领域的各种应用很有用。在本文中，我们提出了一个数据结构，该结构在添加新联系人（即三元组$ {u，v，t）$表示节点$ u $和节点$ v $在时间$ t $进行交互的情况下维护了时间可达性信息。 ）。与以前的作品相比，可以按任意顺序（尤其是非按时间顺序）插入联系人，这对应于后代收集信息的系统（例如 在尝试重建人与人之间的污染链时）。数据结构的主要组成部分是称为时间传递闭包（TTC）的传递闭包的一般化，它使我们能够相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或行程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 数据结构的主要组成部分是称为时间传递闭包（TTC）的传递闭包的一般化，它使我们能够相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或行程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 数据结构的主要组成部分是称为时间传递闭包（TTC）的传递闭包的一般化，它使我们能够相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或行程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 这样一来，我们就可以相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或旅程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 这样一来，我们就可以相对于所有嵌套时间间隔维护可达性信息，而无需存储所有这些间隔或旅程本身。TTC具有独立利益，我们研究了它们的许多一般属性。令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k 令$ n $为节点数，$ \ tau $为时间图生命周期中的时间戳数。我们的数据结构回答有关在给定时间间隔$ O（\ log \ tau）$中从给定节点到另一个节点的旅程是否存在的可达性查询；它的摊销插入时间为$ O（n ^ 2 \ log \ tau）$; 它可以重建一个有效的旅程，见证时间$ O（k \ log \ tau）$的可达性，其中$ k
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