In this paper, we introduce a paracyclic version of $S$-modules. These new objects are called para-$S$-modules. Paracyclic modules and parachain complexes give rise to para-$S$-modules much in the same way as cyclic modules and mixed complexes give rise to $S$-modules. More generally, para-$S$-modules provide us with a natural framework to get analogues for paracyclic modules and parachain complexes of various constructions and equivalence results for cyclic modules or mixed complexes. The datum of a para-$S$-module does not provide us with a chain complex, and so notions of homology and quasi-isomorphisms do not make sense. However, chain maps and chain homotopies continue to make sense, and so by equivalences we actually mean chain homotopy equivalences. We establish some generalizations for para-$S$-modules and parachain complexes of the basic perturbation lemma of differential homological algebra. These generalizations provide us with general recipes for converting deformation retracts of Hochschild chain complexes into deformation retracts of para-$S$-modules. By using ideas of Kassel this then allows us to get comparison results between the various para-$S$-modules associated with para-precyclic modules, and between them and Connes’ cyclic chain complex. These comparison results lead us to alternative descriptions of Connes’ periodicity operator. This has some applications in periodic cyclic homology. We also describe the counterparts of these results in cyclic cohomology. In particular, we obtain an explicit way to convert a periodic $(b, B)$-cocycle into a cohomologous periodic cyclic cocycle.

中文翻译：

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周期性和循环同源性。Para- $ S $-模块和摄动引理

在本文中，我们介绍了$ S $ -modules的并行循环版本。这些新对象称为para- $ S $ -modules。顺环模块和顺链复合物产生对-S $-模块的方式与循环模块和混合络合物产生$ S $-模块的方式相同。更一般地，对-S $-模块为我们提供了一个自然的框架，以获取各种结构的对环模块和对链配合物的类似物，以及对环模块或混合配合物的等效结果。对$ S $模块的原点不能为我们提供链复合物，因此同源性和准同构的概念没有意义。但是，链图和链同位体仍然有意义，因此，通过等价关系，我们实际上是指链同位体的等价关系。我们建立了微分同性代数基本摄动引理的对-S $-模块和对链复合体的一般化。这些归纳为我们提供了将Hochschild链配合物的变形收缩转换为对-$ S $-模块的变形收缩的一般方法。然后，通过使用Kassel的思想，我们可以得到与对位前循环模块关联的各个对位$ S $模块之间以及与Connes的环状链复合体之间的比较结果。这些比较结果使我们得出了Connes周期算子的替代描述。这在周期性循环同源性中有一些应用。我们还在循环同调中描述了这些结果的对应物。特别是，我们获得了一种显式方式，将周期的（b，B）$循环转换为同周期的循环cocycle。然后，通过使用Kassel的思想，我们可以得到与对位前循环模块关联的各个对位$ S $模块之间以及与Connes的环状链复合体之间的比较结果。这些比较结果使我们得出了Connes周期算子的替代描述。这在周期性循环同源性中有一些应用。我们还在循环同调中描述了这些结果的对应物。特别是，我们获得了一种显式方式，将周期的（b，B）$循环转换为同周期的循环cocycle。然后，通过使用Kassel的思想，我们可以得到与对位前循环模块关联的各个对位$ S $模块之间以及与Connes的环状链复合体之间的比较结果。这些比较结果使我们得出了Connes周期算子的替代描述。这在周期性循环同源性中有一些应用。我们还在循环同调中描述了这些结果的对应物。特别是，我们获得了一种显式方式，将周期的（b，B）$循环转换为同周期的循环cocycle。这在周期性循环同源性中有一些应用。我们还在循环同调中描述了这些结果的对应物。特别是，我们获得了一种显式方式，将周期的（b，B）$循环转换为同周期的循环cocycle。这在周期性循环同源性中有一些应用。我们还在循环同调中描述了这些结果的对应物。特别是，我们获得了一种显式方式，将周期的（b，B）$循环转换为同周期的循环cocycle。