This paper extends the Camanho and Dyson (2006) one-period Malmquist-type index (CDMI) and the recent pseudo-panel Malmquist index (PPMI) by Aparicio et al. (2017) and Aparicio and Santín (2018) to a context where additive efficiency measures are used. In particular, we apply the Luenberger productivity indicator. Unlike the CDMI, the new approach is based upon the directional distance function, allowing non-equiproportional changes in the input and output mix and variable returns to scale for comparing the efficiency and technology gaps of two or more groups of production units over time. To illustrate this methodology, we estimate how the productivity gaps between publicly funded private schools (PFPS) and public schools (PS) in eight European Union countries changed over the 2009–15 period using PISA data. Our results suggest that the performance of PFPS is better in Belgium, Ireland, the Netherlands and Spain in both waves, while PS productivity outperforms PFPS in the Czech Republic, Hungary and Slovakia. Both school types operate with a productivity gap close to zero in Denmark. In addition, we observe that despite being less efficient, PS are more productive than PFPS, thanks to their better production technology. Finally, we find that school autonomy is positively related to school productivity explaining why PFPS present higher productivity than PS in some countries.

本文扩展了Camanho和Dyson（2006）的一期Malmquist类型指数（CDMI）和最近的Aparicio等人的伪面板Malmquist指数（PPMI）。（2017）以及Aparicio和Santín（2018）的背景下，使用了累加效率测度。特别是，我们应用了Luenberger生产率指标。与CDMI不同，新方法基于方向距离函数，允许输入和输出组合的非等比例变化以及规模可变的回报，以比较两个或更多组生产单位随时间的效率和技术差距。为了说明这种方法，我们使用PISA数据估算了2009-15年间八个欧盟国家的公立私立学校（PFPS）和公立学校（PS）之间的生产率差距是如何变化的。我们的结果表明，在两次浪潮中，PFPS在比利时，爱尔兰，荷兰和西班牙的表现都更好，而PS生产率则在捷克共和国，匈牙利和斯洛伐克优于PFPS。在丹麦，这两种学校的生产率差距都接近于零。此外，我们观察到，尽管PS效率较低，但由于其更好的生产技术，它们比PFPS的生产率更高。最后，我们发现学校自治与学校生产率成正比，这说明了为什么在某些国家，PFPS的生产率要高于PS。我们观察到，尽管PS效率较低，但由于其更好的生产技术，它们比PFPS的生产率更高。最后，我们发现学校自治与学校生产率成正比，这说明了为什么在某些国家，PFPS的生产率要高于PS。我们观察到，尽管PS效率较低，但由于其更好的生产技术，它们比PFPS的生产率更高。最后，我们发现学校自治与学校生产率成正比，这说明了为什么在某些国家，PFPS的生产率要高于PS。