We show that the Waring number over a finite field ${\mathbb{F}}_q$, denoted as $g(k,q)$, when exists coincides with the diameter of the generalized Paley graph $\Gamma (k,q)=Cay({\mathbb{F}}_q,R_k)$ with $R_k=\{x^k:x\in {\mathbb{F}}_q^{\ast }\}$. We find infinite new families of exact values of $g(k,q)$ from a characterization of graphs $\Gamma (k,q)$ which are also Hamming graphs proved by Lim and Praeger in 2009. Then, we show that every positive integer is the Waring number for some pair $(k,q)$ with $q$ not a prime. Finally, we find a lower bound for $g(k,p)$ with $p$ prime by using that $\Gamma (k,p)$ is a circulant graph in this case.

中文翻译：

---

广义Paley图在有限域上的Waring问题

我们证明了有限域上的Waring数 ${\mathbb{F}}_q$，表示为 $G（ķ，q）$，当存在时与广义Paley图的直径一致 $\Gamma （ķ，q）=C\mathrm{一个}ÿ（{\mathbb{F}}_q，{\mathrm{[R}}_{ķ}）$ 与 ${\mathrm{[R}}_{ķ}=\{X^{ķ}：X\in {\mathbb{F}}_q^{\ast }\}$。我们发现无限新的精确值的族$G（ķ，q）$ 从图的表征 $\Gamma （ķ，q）$ 这也是Lim和Praeger在2009年证明的汉明图。然后，我们证明每个正整数是某对的Waring数 $（ķ，q）$ 与 $q$不是素数。最后，我们找到了一个下界$G（ķ，p）$ 与 $p$ 通过使用 $\Gamma （ķ，p）$ 在这种情况下是循环图。