Theory of Probability &Its Applications, Volume 65, Issue 4, Page 527-544, January 2021.
We consider a subcritical branching process in an independent and identically distributed (i.i.d.) random environment, where one immigrant arrives at each generation. We consider the event $\mathcal{A}_{i}(n)$ in which all individuals alive at time $n$ are descendants of the immigrant, who joined the population at time $i$, and investigate the asymptotic probability of this extreme event for $n\to \infty$ when $i$ is fixed, the difference $n-i$ is fixed, or $\min (i,n-i)\to \infty$. To deduce the desired asymptotics we establish some limit theorems for random walks conditioned to be nonnegative or negative on $[0,n]$.

中文翻译：

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随机环境中的亚临界分支过程与移民：单个家庭的生存

Theory of Probability & Its Applications，第 65 卷，第 4 期，第 527-544 页，2021 年 1 月。
我们考虑在独立同分布 (iid) 随机环境中的亚临界分支过程，其中每一代都有一个移民到达。我们考虑事件 $\mathcal{A}_{i}(n)$，其中所有在时间 $n$ 存活的个体都是移民的后代，他们在时间 $i$ 加入了人口，并研究了当 $i$ 固定时，$n\to \infty$ 的这种极端事件，差异 $ni$ 是固定的，或 $\min (i,ni)\to \infty$。为了推导出所需的渐近性，我们为随机游走建立了一些极限定理，条件为 $[0,n]$ 上的非负或负。