For a digraph $G$ and $v\in V\left(G\right)$, let ${\delta }^{+}\left(v\right)$ be the number of out-neighbors of $v$ in $G$. The Caccetta–Häggkvist conjecture states that for all $k\ge 1$, if $G$ is a digraph with $n=\left|V\left(G\right)\right|$ such that ${\delta }^{+}\left(v\right)\ge k$ for all $v\in V\left(G\right)$, then G contains a directed cycle of length at most $\lceil n∕k\rceil$. In Aharoni et al. (2019), Aharoni proposes a generalization of this conjecture, that a simple edge-colored graph on $n$ vertices with $n$ color classes, each of size $k$, has a rainbow cycle of length at most $\lceil n∕k\rceil$. In this paper, we prove this conjecture if each color class has size $\Omega (klogk)$.

中文翻译：

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关于Aharoni对Caccetta–Häggkvist猜想的彩虹概括

对于有向图 $G$ 和 $v\in V（G）$，让 ${\delta }^{+}（v）$ 是...的邻居数 $v$ 在 $G$。卡塞塔-黑格维斯特猜想指出，对于所有人$ķ\ge \mathrm{1个}$如果 $G$ 是一个有向图 $ñ=\left|V（G）\right|$ 这样 ${\delta }^{+}（v）\ge ķ$ 对全部 $v\in V（G）$，则G最多包含一个有向的长度循环 $\lceil ñ∕ķ\rceil$。在Aharoni等。（2019），Aharoni提出了这个猜想的推广，即一个简单的边色图$ñ$ 与顶点 $ñ$ 颜色类别，每个大小 $ķ$，最大长度为彩虹周期 $\lceil ñ∕ķ\rceil$。在本文中，如果每种颜色类别都有大小，我们就证明了这一猜想$\Omega （ķ日志ķ）$。