In this paper we study sharp constants in inequalities of the following form${\Vert x^{(k)}(\cdot )\Vert }_{L_q(\mathbb{R})}\le K{\Vert Fx(\cdot )\Vert }_{L_p(\mathbb{R})}^{\alpha }{\Vert x^{(n)}(\cdot )\Vert }_{L_r(\mathbb{R})}^{\beta },$ where $Fx(\cdot )$ is the Fourier transform of $x(\cdot )$. The sharp value of K in the general case (that is, for all $n\in \mathbb{N}$ and $0\le k<n$) was known only for $q=r=2$ and $p\ge 2$. We obtain the sharp constant in the general case for $q=\infty$, $r=2$, and $1\le p\le \infty$. We also generalized this two cases on multidimensional situation. The sharp constants is obtained for fractional degrees of the Laplace operator ${(-\mathrm{\Delta })}^{k/2}$ and derivatives $D^{\alpha }$ of order $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_d)\in {\mathbb{R}}_{+}^d$.

中文翻译：

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傅立叶变换的导数不等式

在本文中，我们研究以下形式的不等式中的尖锐常数${\Vert X^{（ķ）}（\cdot ）\Vert }_{{\mathrm{大号}}_q（\mathbb{[R}）}\le ķ{\Vert FX（\cdot ）\Vert }_{{\mathrm{大号}}_p（\mathbb{[R}）}^{\alpha }{\Vert X^{（ñ）}（\cdot ）\Vert }_{{\mathrm{大号}}_{\mathrm{[R}}（\mathbb{[R}）}^{\beta }，$ 在哪里 $FX（\cdot ）$ 是的傅立叶变换 $X（\cdot ）$。的尖锐值ķ在一般情况下（即，对于所有的$ñ\in \mathbb{ñ}$ 和 $0\le ķ<ñ$）仅因 $q=\mathrm{[R}=2$ 和 $p\ge 2$。我们得到一般情况下的锐常数$q=\infty$， $\mathrm{[R}=2$， 和 $\mathrm{1个}\le p\le \infty$。我们还将这两种情况归纳为多维情况。对于拉普拉斯算子的分数阶数，获得了尖锐常数${（-\mathrm{\Delta }）}^{ķ/2}$ 和衍生品 $d^{\alpha }$ 顺序 $\alpha =（{\alpha }_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\alpha }_d）\in {\mathbb{[R}}_{+}^d$。