Let $\alpha$ be a contact form on a connected closed three-manifold $\Sigma$. The systolic ratio of $\alpha$ is defined as $\rho_{\mathrm{sys}}(\alpha):=\tfrac{1}{\mathrm{Vol}(\alpha)}T_{\min}(\alpha)^2$, where $T_{\min}(\alpha)$ and $\mathrm{Vol}(\alpha)$ denote the minimal period of periodic Reeb orbits and the contact volume. The form $\alpha$ is said to be Zoll if its Reeb flow generates a free $S^1$-action on $\Sigma$. We prove that the set of Zoll contact forms on $\Sigma$ locally maximises the systolic ratio in the $C^3$-topology. More precisely, we show that every Zoll form $\alpha_*$ admits a $C^3$-neighbourhood $\mathcal U$ in the space of contact forms such that, for every $\alpha\in\mathcal U$, there holds $\rho_{\mathrm{sys}}(\alpha)\leq \rho_{\mathrm{sys}}(\alpha_*)$ with equality if and only if $\alpha$ is Zoll.

中文翻译：

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第三维的局部接触收缩不等式

令 $\alpha$ 是连通闭三流形 $\Sigma$ 上的联系表。$\alpha$ 的收缩率定义为 $\rho_{\mathrm{sys}}(\alpha):=\tfrac{1}{\mathrm{Vol}(\alpha)}T_{\min}(\ alpha)^2$，其中 $T_{\min}(\alpha)$ 和 $\mathrm{Vol}(\alpha)$ 表示周期性 Reeb 轨道的最小周期和接触体积。如果 $\alpha$ 的 Reeb 流在 $\Sigma$ 上生成一个免费的 $S^1$-action，则称 $\alpha$ 形式是 Zoll。我们证明 $\Sigma$ 上的一组 Zoll 接触形式局部最大化了 $C^3$-拓扑中的收缩率。更准确地说，我们证明每个 Zoll 形式 $\alpha_*$ 在联系形式的空间中承认 $C^3$-邻域 $\mathcal U$，使得对于每个 $\alpha\in\mathcal U$，有保持 $\rho_{\mathrm{sys}}(\alpha)\leq \rho_{\mathrm{sys}}(\alpha_*)$ 相等当且仅当 $\alpha$ 是 Zoll。