We study the rings over which each square matrix is the sum of an idempotent matrix and a \( q \)-potent matrix. We also show that if \( F \) is a finite field not isomorphic to \( 𝔽_{3} \) and \( q>1 \) is odd then each square matrix over \( F \) is the sum of an idempotent matrix and a \( q \)-potent matrix if and only if \( q-1 \) is divisible by \( |F|-1 \).

中文翻译：

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哪些矩阵是幂等和$ q $的环-强矩阵

我们研究了每个平方矩阵是幂等矩阵和\（q \）幂矩阵之和的 环。我们还表明，如果 \（F \）是一个与\（𝔽_{3} \）同构的有限域， 并且 \（q> 1 \） 是奇数，则\（F \）上的每个方阵 都是当且仅当\（q-1 \）可被\（| F | -1 \）整除时， 幂等矩阵和 \（q \）势矩阵 。