We study the existence of weak solutions to a Newtonian fluid∼non-Newtonian fluid mixed-type equation $$ {u_{t}}= \operatorname{div} \bigl(b(x,t){ \bigl\vert {\nabla A(u)} \bigr\vert ^{p(x) - 2}}\nabla A(u)+\alpha (x,t)\nabla A(u) \bigr)+f(u,x,t). $$ We assume that $A'(s)=a(s)\geq 0$ , $A(s)$ is a strictly increasing function, $A(0)=0$ , $b(x,t)\geq 0$ , and $\alpha (x,t)\geq 0$ . If $$ b(x,t)=\alpha (x,t)=0,\quad (x,t)\in \partial \Omega \times [0,T], $$ then we prove the stability of weak solutions without the boundary value condition.

中文翻译：

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关于牛顿流体〜非牛顿流体混合型的退化抛物方程

我们研究了牛顿流体-非牛顿流体混合型方程$$（u_ {t}} = \ operatorname {div} \ bigl（b（x，t）{\ bigl \ vert {\ nabla A（u）} \ bigr \ vert ^ {p（x）-2}} \ nabla A（u）+ \ alpha（x，t）\ nabla A（u）\ bigr）+ f（u，x， t）。$$我们假设$ A'（s）= a（s）\ geq 0 $，$ A（s）$是严格增加的函数，$ A（0）= 0 $，$ b（x，t）\ geq 0 $和$ \ alpha（x，t）\ geq 0 $。如果$$ b（x，t）= \ alpha（x，t）= 0，\ quad（x，t）\在\ partial \ Omega \ times [0，T]中，则$$证明了弱的稳定性没有边界值条件的解。