We show that there is a Borel graph on a standard Borel space of Borel chromatic number three that admits a Borel homomorphism to every analytic graph on a standard Borel space of Borel chromatic number at least three. Moreover, we characterize the Borel graphs on standard Borel spaces of vertex-degree at most two with this property and show that the analogous result for digraphs fails.

中文翻译：

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至少三个可定义色数的最小可定义图

我们证明了在 Borel 色数为 3 的标准 Borel 空间上存在一个 Borel 图，该图允许 Borel 色数至少为 3 的标准 Borel 空间上的每个解析图存在 Borel 同态。此外，我们在顶点度数最多为 2 的标准 Borel 空间上刻画了 Borel 图，并表明有向图的类似结果是失败的。