It is known by a formula of Hasse–Sondow that the Riemann zeta function is given, for any $s=\sigma +it\in ℂ$, by ${\sum }_{n=0}^{\infty }\tilde{A}(n,s)$ where $\tilde{A}(n,s)≔\frac{1}{2^{n+1}(1-2^{1-s})}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{{(-1)}^k}{{(k+1)}^s}.$ For any $N\in \mathbb{N}$, we prove the following approximate functional equation for the Hasse–Sondow presentation: $\zeta \left(s\right)=\sum _{n\le \left[\frac{\left|t\right|}{\pi N}\right]}\tilde{A}(n,s)+\frac{\chi \left(s\right)}{1-2^{s-1}}\left(\sum _{k\le N}{(2k-1)}^{s-1}\right)+O\left(e^{-\omega \left(N\right)t}\right),$ where $\omega \left(N\right)\approx \frac{e^{-4}}{N^e}$. The proof is based on a study, via saddle point techniques, of the asymptotic properties of the function $\tilde{A}(u,s)≔\frac{1}{2^{u+1}(1-2^{1-s})\Gamma \left(s\right)}{\int }_0^{\infty }\left(e^{-w}{\left(1-e^{-w}\right)}^u\right)w^{s-1}dw,$ and integrals related to it.

中文翻译：

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具有指数衰减误差的Riemann zeta函数的近似函数方程。

通过Hasse-Sondow的公式可以知道，对于任何 $s=\sigma +\mathrm{一世}Ť\in ℂ$，由 ${\sum }_{ñ=0}^{\infty }\stackrel{〜}{\mathrm{一个}}（ñ，s）$ 哪里 $\stackrel{〜}{\mathrm{一个}}（ñ，s）≔\frac{\mathrm{1个}}{2^{ñ+\mathrm{1个}}（\mathrm{1个}-2^{\mathrm{1个}-s}）}\sum _{ķ=0}^{ñ}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{ñ}{ķ}\right)\frac{{（-\mathrm{1个}）}^{ķ}}{{（ķ+\mathrm{1个}）}^s}。$ 对于任何 $ñ\in \mathbb{ñ}$，我们证明了Hasse-Sondow表示的以下近似函数方程： $\zeta （s）=\sum _{ñ\le \left[\frac{\left|Ť\right|}{\pi ñ}\right]}\stackrel{〜}{\mathrm{一个}}（ñ，s）+\frac{\chi （s）}{\mathrm{1个}-2^{s-\mathrm{1个}}}\left(\sum _{ķ\le ñ}{（2ķ-\mathrm{1个}）}^{s-\mathrm{1个}}\right)+Ø\left({Ë}^{-\omega （ñ）Ť}\right)，$ 哪里 $\omega （ñ）\approx \frac{{Ë}^{-4}}{{ñ}^{Ë}}$。该证明基于通过鞍点技术对函数渐近性质的研究$\stackrel{〜}{\mathrm{一个}}（ü，s）≔\frac{\mathrm{1个}}{2^{ü+\mathrm{1个}}（\mathrm{1个}-2^{\mathrm{1个}-s}）\Gamma （s）}{\int }_0^{\infty }\left({Ë}^{-w}{\left(\mathrm{1个}-{Ë}^{-w}\right)}^{ü}\right)w^{s-\mathrm{1个}}dw，$ 以及与此有关的积分。