Tuza (1981) conjectured that the size $\tau \left(G\right)$ of a minimum set of edges that intersects every triangle of a graph $G$ is at most twice the size $\nu \left(G\right)$ of a maximum set of edge-disjoint triangles of $G$. In this paper we present three results regarding Tuza’s Conjecture. We verify it for graphs with treewidth at most 6; we show that $\tau \left(G\right)\le \frac{3}{2}\nu \left(G\right)$ for every planar triangulation $G$ different from $K_4$; and that $\tau \left(G\right)\le \frac{9}{5}\nu \left(G\right)+\frac{1}{5}$ if $G$ is a maximal graph with treewidth 3. Our first result strengthens a result of Tuza, implying that $\tau \left(G\right)\le 2\nu \left(G\right)$ for every $K_8$-free chordal graph $G$.

中文翻译：

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关于图萨猜想的三角形和具有小树宽的图

Tuza（1981）推测 $\tau （G）$ 与图的每个三角形相交的最小边的集合 $G$ 最多是尺寸的两倍 $\nu （G）$ 的最大边不相交三角形的集合 $G$。在本文中，我们提出了关于图扎猜想的三个结果。我们对树宽最大为6的图进行验证。我们表明$\tau （G）\le \frac{3}{2}\nu （G）$ 对于每个平面三角剖分 $G$ 不同于 ${ķ}_4$; 然后$\tau （G）\le \frac{9}{5}\nu （G）+\frac{\mathrm{1个}}{5}$ 如果 $G$ 是具有树宽3的最大图。我们的第一个结果加强了Tuza的结果，这意味着 $\tau （G）\le 2\nu （G）$ 每一个 ${ķ}_8$免和弦图 $G$。