A permutation class $C$ is said to be splittable if there exist two proper subclasses $A,B⊊C$ such that any $\sigma \in C$ can be red–blue colored so that the red (respectively, blue) subsequence of $\sigma$ is order isomorphic to an element of $A$ (respectively, $B$). The class $C$ is said to be composable if there exists some number of proper subclasses $A_1,\dots ,A_k⊊C$ such that any $\sigma \in C$ can be written as ${\alpha }_1\circ \cdots \circ {\alpha }_k$ for some ${\alpha }_i\in A_i$. We answer a question of Karpilovskij by showing that there exists a composable permutation class that is not splittable. We also give a condition under which an infinite composable class must be splittable.

中文翻译：

---

排列类的可组合性和可拆分性之间的关系

排列类 $C$如果存在两个适当的子类，则被称为可拆分的$\mathrm{一种}，乙⊊C$ 这样任何 $\sigma \in C$ 可以是红色-蓝色，因此红色（分别是蓝色）的子序列 $\sigma$ 对的元素是同构的 $\mathrm{一种}$ （分别， $乙$）。班级$C$如果存在一些适当的子类，则被认为是可组合的${\mathrm{一种}}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{\mathrm{一种}}_{ķ}⊊C$ 这样任何 $\sigma \in C$ 可以写成 ${\alpha }_{\mathrm{1个}}\circ \cdots \circ {\alpha }_{ķ}$ 对于一些 ${\alpha }_{\mathrm{一世}}\in {\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}}$。我们通过显示存在一个不可拆分的可组合置换类来回答Karpilovskij的问题。我们还给出了一个条件，在该条件下，无限可组合类必须是可拆分的。