We consider the inverse problem of determining the shape of a general nonlinear term appearing in a semilinear hyperbolic equation on a Riemannian manifold with boundary $(M,g)$ of dimension $n=2,3$. We prove results of unique recovery of the nonlinear term $F(t,x,u)$, appearing in the equation ${\partial }_t^{2}u-{\mathrm{\Delta }}_{g}u+F(t,x,u)=0$ on $(0,T)\times M$ with $T>0$, from partial knowledge of the solutions $u$ on the lateral boundary $(0,T)\times \partial M$. We obtain, what seems to be, the first result of determination of the expression $F(t,x,u)$ on the boundary $x\in \partial M$ for such a general class of nonlinear terms. With additional assumptions on the manifold and some extended measurements at $t=0$ and $t=T$, we prove also the recovery of $F$ inside the manifold $x\in M$.

中文翻译：

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关于半线性双曲方程中非线性项的确定

我们考虑确定出现在具有边界的黎曼流形上的半线性双曲方程中的一般非线性项的形状的逆问题 $(米,G)$ 维度的 $n=2,3$. 我们证明了非线性项唯一恢复的结果$F(吨,X,你)$，出现在方程中 ${\partial }_{吨}^2你-{\mathrm{\Delta }}_G你+F(吨,X,你)=0$ 在 $(0,吨)\times 米$ 和 $吨>0$, 从解的部分知识 $你$ 在横向边界上 $(0,吨)\times \partial 米$. 我们得到了，似乎是，确定表达式的第一个结果$F(吨,X,你)$ 在边界上 $X\in \partial 米$对于这样一类一般的非线性项。随着对流形的额外假设和一些扩展的测量$吨=0$ 和 $吨=吨$，我们也证明了 $F$ 歧管内 $X\in 米$.