Hecke conjectured that an explicit set of theta series obtained from a quaternion algebra defined over ℚ ramified at a prime N is a basis of a space of holomorphicmodular forms of weight 2 for the Hecke congruence group Γ 0 ( N ). However, Eichler noticed that Hecke’s conjecture is not true in general. Hence it is natural to ask the dimension of the subspace of M 2 ( Γ 0 ( N )) spanned by the theta series, and this question is called Hecke’s basis problem , which we have shown an answer in [K. Sugiyama, On the space of theta functions for a prime level, Comment. Math. Univ. St. Pauli , 67(1):66–81, 2019]. In this paper, we generalize the results for a square-free positive integer N .

中文翻译：

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关于水平无平方的 theta 函数的空间

Hecke 推测，从在素数 N 上分枝的 ℚ 上定义的四元数代数获得的明确的 theta 级数集是 Hecke 同余群 Γ 0 ( N ) 的权重为 2 的全纯模形式空间的基础。然而，Eichler 注意到 Hecke 的猜想在一般情况下并不正确。因此很自然地要问由 theta 级数跨越的 M 2 ( Γ 0 ( N )) 的子空间的维数，这个问题被称为 Hecke 的基问题，我们已经在 [K. 杉山，关于素数水平的 theta 函数空间，评论。数学。大学 圣保利, 67(1):66–81, 2019]。在本文中，我们概括了无平方正整数 N 的结果。