In the present paper we consider the Dirichlet problem for the second order differential operator $E=\nabla (\mathcal{A}\nabla )$, where $\mathcal{A}$ is a matrix with complex valued $L^{\infty }$ entries. We introduce the concept of dissipativity of $E$ with respect to a given function $\phi :{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$. Under the assumption that the $\mathbb{I}\mathrm{m}\mathcal{A}$ is symmetric, we prove that the condition $\left|s{\phi }^{\prime }\left(s\right)\right|$ $\left|〈\mathbb{I}\mathrm{m}\mathcal{A}\left(x\right)\xi ,\xi 〉\right|$ $⩽2\sqrt{\phi \left(s\right){\left[s\phi \left(s\right)\right]}^{\prime }}$ $〈\mathbb{R}\mathrm{e}\mathcal{A}\left(x\right)\xi ,\xi 〉$ (for almost every $x\in \Omega \subset {\mathbb{R}}^N$ and for any $s>0$, $\xi \in {\mathbb{R}}^N$) is necessary and sufficient for the functional dissipativity of $E$.

中文翻译：

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具有复系数的二阶微分算子的功能耗散性的判据

在本文中，我们考虑二阶微分算子的Dirichlet问题 $Ë=\nabla （\mathcal{一种}\nabla ）$，在哪里 $\mathcal{一种}$ 是具有复数值的矩阵 ${\mathrm{大号}}^{\infty }$条目。我们介绍了耗散的概念$Ë$ 关于给定的功能 $\phi ：{\mathbb{[R}}^{+}\to {\mathbb{[R}}^{+}$。假设$\mathbb{一世}\mathrm{米}\mathcal{一种}$ 是对称的，我们证明条件 $\left|s{\phi }^{\prime }（s）\right|$ $\left|〈\mathbb{一世}\mathrm{米}\mathcal{一种}（X）\xi ，\xi 〉\right|$ $⩽2\sqrt{\phi （s）{\left[s\phi （s）\right]}^{\prime }}$ $〈\mathbb{[R}\mathrm{Ë}\mathcal{一种}（X）\xi ，\xi 〉$ （几乎 $X\in \Omega \subset {\mathbb{[R}}^{ñ}$ 和任何 $s>0$， $\xi \in {\mathbb{[R}}^{ñ}$）对于功能性耗散性是必要和充分的 $Ë$。