In this paper, we consider the modified Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation $u_t+u_{xxx}-\eta (\mathcal{H}{u}_x+\mathcal{H}{u}_{xxx})+u^2{u}_x=0$. We prove that the associated initial value problem is locally well-posed in Sobolev spaces $H^s\left(\mathbb{R}\right)$ for $s>-1∕2$. We also prove that our result is sharp in the sense that the flow map of this equation fails to be $C^3$ in $H^s\left(\mathbb{R}\right)$ for $s<-1∕2$. Moreover, we prove that for any $s>1∕2$ and $T>0$, its solution converges in $C([0,T];H^s\left(\mathbb{R}\right))$ to that of the mKdV equation if $\eta$ tends to 0.

中文翻译：

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关于修正的Ostrovsky，Stepanyams和Tsimring方程的尖锐局部适定性

在本文中，我们考虑了修正的Ostrovsky，Stepanyams和Tsimring方程 ${ü}_{Ť}+{ü}_{XXX}-\eta （\mathcal{H}{ü}_X+\mathcal{H}{ü}_{XXX}）+{ü}^2{ü}_X=0$。我们证明了相关的初值问题在Sobolev空间中是局部适定的$H^s（\mathbb{[R}）$ 对于 $s>-\mathrm{1个}∕2$。我们还证明了我们的结果是精确的，因为该方程的流程图无法$C^3$ 在 $H^s（\mathbb{[R}）$ 对于 $s<-\mathrm{1个}∕2$。而且，我们证明对于任何$s>\mathrm{1个}∕2$ 和 $Ť>0$，其解决方案收敛于 $C（[0，Ť];H^s（\mathbb{[R}））$ 如果mKdV方程 $\eta$ 趋于0。