Let $\left(X_n\right)$ be a sequence of real random variables, $\left(T_n\right)$ a sequence of random indices, and $\left({\tau }_n\right)$ a sequence of constants such that ${\tau }_n\to \infty$. The asymptotic behavior of $L_n=(1/{\tau }_n){\sum }_{i=1}^{T_n}{X}_i$, as $n\to \infty$, is investigated when $\left(X_n\right)$ is exchangeable and independent of $\left(T_n\right)$. We give conditions for $M_n=\sqrt{{\tau }_n}(L_n-L)⟶M$ in distribution, where L and M are suitable random variables. Moreover, when $\left(X_n\right)$ is i.i.d., we find constants $a_n$ and $b_n$ such that ${sup}_{A\in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)}\left|P(L_n\in A)-P(L\in A)\right|\le a_n$ and ${sup}_{A\in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)}\left|P(M_n\in A)-P(M\in A)\right|\le b_n$ for every n. In particular, $L_n\to L$ or $M_n\to M$ in total variation distance provided $a_n\to 0$ or $b_n\to 0$, as it happens in some situations.

中文翻译：

---

随机和的总变异收敛

让 $（X_{ñ}）$ 是真正随机变量的序列， $（{Ť}_{ñ}）$ 一系列随机索引，以及 $（{\tau }_{ñ}）$ 一系列常数 ${\tau }_{ñ}\to \infty$。的渐近行为${\mathrm{大号}}_{ñ}=（\mathrm{1个}/{\tau }_{ñ}）{\sum }_{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{{Ť}_{ñ}}{X}_{\mathrm{一世}}$，作为 $ñ\to \infty$，何时被调查 $（X_{ñ}）$ 可互换且独立于 $（{Ť}_{ñ}）$。我们为${\mathrm{中号}}_{ñ}=\sqrt{{\tau }_{ñ}}（{\mathrm{大号}}_{ñ}-\mathrm{大号}）⟶\mathrm{中号}$在分布中，其中L和M是合适的随机变量。而且，什么时候$（X_{ñ}）$ 是iid，我们找到常数 ${\mathrm{一种}}_{ñ}$ 和 $b_{ñ}$ 这样 ${SUP}_{\mathrm{一种}\in \mathcal{乙}（\mathbb{[R}）}\left|P（{\mathrm{大号}}_{ñ}\in \mathrm{一种}）-P（\mathrm{大号}\in \mathrm{一种}）\right|\le {\mathrm{一种}}_{ñ}$ 和 ${SUP}_{\mathrm{一种}\in \mathcal{乙}（\mathbb{[R}）}\left|P（{\mathrm{中号}}_{ñ}\in \mathrm{一种}）-P（\mathrm{中号}\in \mathrm{一种}）\right|\le b_{ñ}$每n个。特别是，${\mathrm{大号}}_{ñ}\to \mathrm{大号}$ 要么 ${\mathrm{中号}}_{ñ}\to \mathrm{中号}$ 提供的总变化距离 ${\mathrm{一种}}_{ñ}\to 0$ 要么 $b_{ñ}\to 0$，因为它在某些情况下会发生。