Given two graphs $H_1$ and $H_2$, a graph is $\left(H_1,H_2\right)$‐free if it contains no induced subgraph isomorphic to $H_1$ or $H_2$. For a positive integer $t$, $P_t$ is the chordless path on $t$ vertices. A paraglider is the graph that consists of a chorless cycle $C_4$ plus a vertex adjacent to three vertices of the $C_4$. In this paper, we study the structure of ( $P_5$, paraglider)‐free graphs, and show that every such graph $G$ satisfies $\chi \left(G\right)\le \lceil \frac{3}{2}\omega \left(G\right)\rceil$, where $\chi \left(G\right)$ and $\omega \left(G\right)$ are the chromatic number and clique number of $G$, respectively. Our bound is attained by the complement of the Clebsch graph on 16 vertices. More strongly, we completely characterize all the ( $P_5$, paraglider)‐free graphs $G$ that satisfies $\chi \left(G\right)>\frac{3}{2}\omega \left(G\right)$. We also construct an infinite family of ( $P_5$, paraglider)‐free graphs such that every graph $G$ in the family has $\chi \left(G\right)=\lceil \frac{3}{2}\omega \left(G\right)\rceil -1$. This shows that our upper bound is optimal up to an additive constant and that there is no $\left(\frac{3}{2}-ϵ\right)$‐approximation algorithm for the chromatic number of ( $P_5$, paraglider)‐free graphs for any $ϵ>0$.

中文翻译：

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在没有诱导五顶点路径或滑翔伞的图形上

给定两个图 $H_{\mathrm{1个}}$ 和 $H_{\mathrm{2个}}$，图是 $（H_{\mathrm{1个}}，H_{\mathrm{2个}}）$-如果不包含与之同构的诱导子图，则不包含 $H_{\mathrm{1个}}$ 或者 $H_{\mathrm{2个}}$。对于正整数$Ť$， $P_{Ť}$ 是无弦的道路 $Ť$顶点。甲滑翔伞是，它由一个chorless周期的曲线图$C_4$ 加上与该顶点的三个顶点相邻的一个顶点 $C_4$。在本文中，我们研究了（$P_5$，滑翔伞）图，并显示每一个这样的图 $G$ 满足 $\chi （G）\le \lceil \frac{3}{\mathrm{2个}}\omega （G）\rceil$， 在哪里 $\chi （G）$ 和 $\omega （G）$ 是色数和集团数 $G$， 分别。我们的边界是通过在16个顶点上的Clebsch图的补码来实现的。更重要的是，我们完整地描述了所有（$P_5$，滑翔伞）-无图 $G$ 满足 $\chi （G）>\frac{3}{\mathrm{2个}}\omega （G）$。我们还构造了一个无限的家族$P_5$，滑翔伞）图，这样每个图 $G$ 在家庭有 $\chi （G）=\lceil \frac{3}{\mathrm{2个}}\omega （G）\rceil -\mathrm{1个}$。这表明我们的上限在加法常数之前是最佳的，并且没有$（\frac{3}{\mathrm{2个}}-ϵ）$-（的色数的近似算法 $P_5$，滑翔伞）-任意图 $ϵ>0$。