We study the Muskat problem describing the vertical motion of two immiscible fluids in a two-dimensional homogeneous porous medium in an Lp-setting with p ∈ (1, ∞). The Sobolev space $W_p^s(\mathbb R)$ with s = 1+1/p is a critical space for this problem. We prove, for each s ∈ (1+1/p, 2) that the Rayleigh–Taylor condition identifies an open subset of $W_p^s(\mathbb R)$ within which the Muskat problem is of parabolic type. This enables us to establish the local well-posedness of the problem in all these subcritical spaces together with a parabolic smoothing property.

中文翻译：

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亚临界 Lp-Sobolev 空间中 Muskat 问题的适定性

我们研究了描述两种不混溶流体在二维均质多孔介质中的垂直运动的 Muskat 问题，该介质采用L p设置，p ∈ (1, ∞)。s = 1+1/ p的 Sobolev 空间 $W_p^s(\mathbb R)$ 是这个问题的关键空间。我们证明，对于每个s ∈ (1+1/ p , 2)，Rayleigh–Taylor 条件标识了 $W_p^s(\mathbb R)$ 的一个开放子集，其中 Muskat 问题属于抛物线类型。这使我们能够在所有这些亚临界空间中建立问题的局部适定性以及抛物线平滑特性。