We consider the Schrödinger equation with nonlinear dissipation $i{\partial }_{t}u+\Delta u=\lambda {\left|u\right|}^{\alpha }u$in ${\mathbb{R}}^N$, $N\ge 1$, where $\lambda \in ℂ$ with $\Im \lambda <0$. Assuming $\frac{2}{N+2}<\alpha <\frac{2}{N}$, we give a precise description of the long-time behavior of the solutions (including decay rates in $L^2$ and $L^{\infty }$, and asymptotic profile), for a class of arbitrarily large initial data.

中文翻译：

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耗散非线性薛定ding方程的渐近行为

我们考虑具有非线性耗散的薛定ding方程 $\mathrm{一世}{\partial }_{Ť}ü+\Delta ü=\lambda {\left|ü\right|}^{\alpha }ü$在 ${\mathbb{[R}}^{ñ}$， $ñ\ge \mathrm{1个}$，在哪里 $\lambda \in ℂ$ 与 $\Im \lambda <0$。假设$\frac{2}{ñ+2}<\alpha <\frac{2}{ñ}$，我们给出了解决方案长期行为的精确描述（包括 ${\mathrm{大号}}^2$ 和 ${\mathrm{大号}}^{\infty }$和渐近曲线），用于一类任意大的初始数据。