Given a metric measure space $(X,\mathsf{d},\mathfrak{m})$ and a lower semicontinuous, lower bounded function $k:X\to \mathbb{R}$, we prove the equivalence of the synthetic approaches to Ricci curvature at $x\in X$ being bounded from below by $k(x)$ in terms of

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the Bakry–Émery estimate $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }(f)/2-\mathrm{\Gamma }(f,\mathrm{\Delta }f)\ge k\mathrm{\Gamma }(f)$ in an appropriate weak formulation, and

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the curvature-dimension condition $\mathrm{CD}(k,\infty )$ in the sense of Lott–Sturm–Villani with variable k.

Furthermore, for any pair of initial distributions ${\mu }_1$ and ${\mu }_2$ on X, we prove the existence of a pair of coupled Brownian motions ${\mathsf{b}}^1$ and ${\mathsf{b}}^2$ such that a.s. for every $s,t\in [0,\infty )$ with $s\le t$, we have$\mathsf{d}({\mathsf{b}}_t^1,{\mathsf{b}}_t^2)\le {\mathrm{e}}^{-{\int }_s^t\underset{\_}{k}({\mathsf{b}}_r^1,{\mathsf{b}}_r^2)/2\mathrm{d}r}\mathsf{d}({\mathsf{b}}_s^1,{\mathsf{b}}_s^2).$

给定度量空间 $（X，\mathsf{d}，\mathfrak{米}）$ 和下半连续，下界函数 $ķ：X\to \mathbb{[R}$，我们证明了Ricci曲率的综合方法在 $X\in X$ 从下面被包围 $ķ（X）$ 就......而言

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巴克里-埃梅里估计 $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Gamma }（F）/2-\mathrm{\Gamma }（F，\mathrm{\Delta }F）\ge ķ\mathrm{\Gamma }（F）$ 以适当的弱表达，以及

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曲率维条件 $\mathrm{光盘}（ķ，\infty ）$在具有变量k的Lott–Sturm–Villani的意义上。

此外，对于任何一对初始分布 ${\mu }_{\mathrm{1个}}$ 和 ${\mu }_2$在X上，我们证明了一对耦合布朗运动的存在${\mathsf{b}}^{\mathrm{1个}}$ 和 ${\mathsf{b}}^2$ 这样，对于每个 $s，Ť\in [0，\infty ）$ 与 $s\le Ť$， 我们有$\mathsf{d}（{\mathsf{b}}_{Ť}^{\mathrm{1个}}，{\mathsf{b}}_{Ť}^2）\le {\mathrm{Ë}}^{-{\int }_s^{Ť}\underset{\_}{ķ}（{\mathsf{b}}_{\mathrm{[R}}^{\mathrm{1个}}，{\mathsf{b}}_{\mathrm{[R}}^2）/2\mathrm{d}\mathrm{[R}}\mathsf{d}（{\mathsf{b}}_s^{\mathrm{1个}}，{\mathsf{b}}_s^2）。$