This paper concerns the nonautonomous reaction-diffusion equation$u_t=u_{xx}+ug(t,x-ct,u),t>0,x\in \mathbb{R},$ where $c\in \mathbb{R}$ is the shifting speed, and the time periodic nonlinearity $ug(t,\xi ,u)$ is asymptotically of KPP type as $\xi \to -\infty$ and is negative as $\xi \to +\infty$. Under a subhomogeneity condition, we show that there is $c^{⁎}>0$ such that a unique forced time periodic wave exists if and only if $|c|<c^{⁎}$ and it attracts other solutions in a certain sense according to the tail behavior of initial values. In the case where $|c|\ge c^{⁎}$, the propagation dynamics resembles that of the limiting system as $\xi \to \pm \infty$, depending on the shifting direction.

中文翻译：

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时移环境下反应扩散方程的传播动力学

本文涉及非自治反应扩散方程${ü}_{Ť}={ü}_{XX}+üG（Ť，X-CŤ，ü），Ť>0，X\in \mathbb{[R}，$ 哪里 $C\in \mathbb{[R}$ 是变速速度和时间周期非线性 $üG（Ť，\xi ，ü）$ 渐近的KPP类型为 $\xi \to -\infty$ 并为负 $\xi \to +\infty$。在亚同质性条件下，我们表明$C^{⁎}>0$ 这样，当且仅当存在唯一的强制时间周期波 $|C|<C^{⁎}$并且根据初始值的尾部行为在某种意义上吸引了其他解决方案。在这种情况下$|C|\ge C^{⁎}$，传播动力学类似于极限系统的传播动力学 $\xi \to \pm \infty$，取决于移动方向。