SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, Volume 42, Issue 1, Page 58-82, January 2021.
Quaternion matrices are employed successfully in many color image processing applications. In particular, a pure quaternion matrix can be used to represent red, green, and blue channels of color images. A low-rank approximation for a pure quaternion matrix can be obtained by using the quaternion singular value decomposition. However, this approximation is not optimal in the sense that the resulting low-rank approximation matrix may not be pure quaternion, i.e., the low-rank matrix contains a real component which is not useful for the representation of a color image. The main contribution of this paper is to find an optimal rank-$r$ pure quaternion matrix approximation for a pure quaternion matrix (a color image). Our idea is to use a projection on a low-rank quaternion matrix manifold and a projection on a quaternion matrix with zero real component, and develop an alternating projections algorithm to find such optimal low-rank pure quaternion matrix approximation. The convergence of the projection algorithm can be established by showing that the low-rank quaternion matrix manifold and the zero real component quaternion matrix manifold has a nontrivial intersection point. Numerical examples on synthetic pure quaternion matrices and color images are presented to illustrate the projection algorithm can find optimal low-rank pure quaternion approximation for pure quaternion matrices or color images.

中文翻译：

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纯四元数矩阵的低秩纯四元数逼近

SIAM矩阵分析和应用杂志，第42卷，第1期，第58-82页，2021年1月。
四元数矩阵已成功应用于许多彩色图像处理应用程序中。特别地，纯四元数矩阵可用于表示彩色图像的红色，绿色和蓝色通道。通过使用四元数奇异值分解，可以获得纯四元数矩阵的低秩近似。但是，在所得的低秩近似矩阵可能不是纯四元数的意义上，该近似不是最佳的，即，低秩矩阵包含对彩色图像的表示没有用的实数分量。本文的主要贡献是为纯四元数矩阵（彩色图像）找到最优的秩-$ r $纯四元数矩阵逼近。我们的想法是使用低秩四元数矩阵流形上的投影和实分量为零的四元数矩阵上的投影，并开发一种交替投影算法来找到这种最优的低秩纯四元数矩阵逼近。通过证明低秩四元数矩阵流形和零实数四元数矩阵流形具有不平凡的交点，可以建立投影算法的收敛性。给出了关于合成纯四元数矩阵和彩色图像的数值示例，以说明该投影算法可以为纯四元数矩阵或彩色图像找到最佳的低秩纯四元数逼近。通过证明低秩四元数矩阵流形和零实数四元数矩阵流形具有不平凡的交点，可以建立投影算法的收敛性。给出了关于合成纯四元数矩阵和彩色图像的数值示例，以说明该投影算法可以为纯四元数矩阵或彩色图像找到最佳的低秩纯四元数逼近。通过证明低秩四元数矩阵流形和零实数四元数矩阵流形具有不平凡的交点，可以建立投影算法的收敛性。给出了关于合成纯四元数矩阵和彩色图像的数值示例，以说明该投影算法可以为纯四元数矩阵或彩色图像找到最佳的低秩纯四元数逼近。