Assume that $G$ is a finite group and let $a$ and $b$ be non-negative integers. We define an undirected graph ${\Gamma }_{a,b}\left(G\right)$ whose vertices correspond to the elements of $G^a\cup G^b$ and in which two tuples $(x_1,\dots ,x_a)$ and $(y_1,\dots ,y_b)$ are adjacent if and only if $〈x_1,\dots ,x_a,y_1,\dots ,y_b〉=G.$ Our aim is to estimate the genus, the thickness and the crossing number of the graph ${\Gamma }_{a,b}\left(G\right)$ when $a$ and $b$ are positive integers, giving explicit lower bounds on these invariants in terms of $\left|G\right|.$

中文翻译：

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编码有限群生成性质的图的属，粗度和交叉数

假使，假设 $G$ 是一个有限的群，让 $\mathrm{一种}$ 和 $b$是非负整数。我们定义一个无向图${\Gamma }_{\mathrm{一种}，b}（G）$ 其顶点对应于的元素 $G^{\mathrm{一种}}\cup G^b$ 并且其中两个元组 $（X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{\mathrm{一种}}）$ 和 $（{ÿ}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{ÿ}_b）$ 在且仅当 $〈X_{\mathrm{1个}}，\dots ，X_{\mathrm{一种}}，{ÿ}_{\mathrm{1个}}，\dots ，{ÿ}_b〉=G。$ 我们的目的是估计图的属，粗细和相交数 ${\Gamma }_{\mathrm{一种}，b}（G）$ 什么时候 $\mathrm{一种}$ 和 $b$ 是正整数，就这些不变量给出了明确的下界 $\left|G\right|。$