The ladder graph \(L_n\) is the Cartesian product of a path on n vertices and a complete graph on two vertices. The Wiener index of a digraph is the sum of distances between all ordered pairs of vertices. In Knor et al. (Bounds in chemical graph theory - advances, 2017) the authors conjectured that the maximum Wiener index of a digraph whose underlying graph is \(L_n\) is \((8n^3+3n^2-5n+6)/3\). In this article we prove the conjecture.

中文翻译：

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关于有向梯形图的最大维纳指数的猜想的证明

梯形图\（L_n \）是n个顶点上的路径和两个顶点上的完整图的笛卡尔积。有向图的维纳指数是所有有序顶点对之间的距离之和。在克诺（Knor）等人中。（化学图论的界限-进展，2017年）作者推测，基础图为\（L_n \）的有向图的最大Wiener指数为\（（8n ^ 3 + 3n ^ 2-5n + 6）/ 3 \ ）。在本文中，我们证明了这种猜想。