SIAM Journal on Financial Mathematics, Volume 12, Issue 1, Page 47-78, January 2021.
An investor initially shorts a divisible American option $f$ and dynamically trades stock $S$ to maximize her expected utility. The investor faces the uncertainty of the exercise time of $f$, yet by observing the exercise time she would adjust her dynamic trading strategy accordingly. We thus investigate the robust utility maximization problem $V(x)=\sup_{(H,c)}\inf_{\eta}\mathbb{E}[U(x+H\cdot S-c(\eta(f)-p))]$, where $H$ is the dynamic trading strategy for $S$, $c$ represents the amount of $f$ the investor initially shorts, $\eta$ is the liquidation strategy for $f$, and $p$ is the initial price of $f$. We mainly consider two cases: In the first case, the investor shorts a fixed amount of $f$; i.e., without loss of generality, $c=1$ and $p=0$; in the second case, she statically trades $f$; i.e., $c$ can be any nonnegative number. We first show that in both cases $V(x)=\sup_{(H,c)}\inf_{\tau}\mathbb{E}[U(x+H\cdot S-c(f_\tau-p))]=\inf_{\rho}\sup_{(H,c)}$ $\mathbb{E}[U(x+H\cdot S-c(f_\rho-p))]$, where $\tau$ is a pure stopping time, $\rho$ is a randomized stopping time, and $H$ satisfies a certain nonanticipation condition. Then in the first case (i.e., $c=1$), we show that when $U$ is exponential, $V(x)=\inf_{\tau}\sup_{H}\mathbb{E}[U(x+H\cdot S-f_\tau)]$; for general utility, this equality may fail, yet it can be recovered if we in addition let $\tau$ be adapted to $H$ in a certain sense. Finally, in the second case ($c\in[0,\infty)$) we obtain a duality result for the robust utility maximization on an enlarged space.

中文翻译：

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做空美式期权时效用最大化

SIAM 金融数学杂志，第 12 卷，第 1 期，第 47-78 页，2021 年 1 月。
投资者最初做空可分割的美式期权 $f$ 并动态交易股票 $S$ 以最大化其预期效用。投资者面临$f$行权时间的不确定性，但通过观察行权时间，她会相应地调整自己的动态交易策略。因此，我们研究了稳健效用最大化问题 $V(x)=\sup_{(H,c)}\inf_{\eta}\mathbb{E}[U(x+H\cdot Sc(\eta(f)- p))]$，其中$H$是$S$的动态交易策略，$c$代表投资者最初做空的$f$数量，$\eta$是$f$的清算策略，$ p$ 是 $f$ 的初始价格。我们主要考虑两种情况：第一种情况，投资者做空固定数量的$f$；即，不失一般性，$c=1$ 和 $p=0$；在第二种情况下，她静态交易 $f$；即，$c$ 可以是任何非负数。我们首先证明在这两种情况下 $V(x)=\sup_{(H,c)}\inf_{\tau}\mathbb{E}[U(x+H\cdot Sc(f_\tau-p)) ]=\inf_{\rho}\sup_{(H,c)}$ $\mathbb{E}[U(x+H\cdot Sc(f_\rho-p))]$，其中 $\tau$ 是纯停止时间，$\rho$ 是随机停止时间，$H$ 满足一定的非预期条件。然后在第一种情况下（即 $c=1$），我们证明当 $U$ 是指数时，$V(x)=\inf_{\tau}\sup_{H}\mathbb{E}[U( x+H\cdot S-f_\tau)]$; 对于一般效用，这种等式可能会失败，但如果我们另外让 $\tau$ 在某种意义上适应 $H$，它可以恢复。最后，在第二种情况 ($c\in[0,\infty)$) 中，我们获得了扩大空间上鲁棒效用最大化的对偶结果。其中 $\tau$ 是纯停止时间，$\rho$ 是随机停止时间，$H$ 满足某个非预期条件。然后在第一种情况下（即 $c=1$），我们证明当 $U$ 是指数时，$V(x)=\inf_{\tau}\sup_{H}\mathbb{E}[U( x+H\cdot S-f_\tau)]$; 对于一般效用，这种等式可能会失败，但如果我们另外让 $\tau$ 在某种意义上适应 $H$，它可以恢复。最后，在第二种情况 ($c\in[0,\infty)$) 中，我们获得了扩大空间上鲁棒效用最大化的对偶结果。其中 $\tau$ 是纯停止时间，$\rho$ 是随机停止时间，$H$ 满足某个非预期条件。然后在第一种情况下（即 $c=1$），我们证明当 $U$ 是指数时，$V(x)=\inf_{\tau}\sup_{H}\mathbb{E}[U( x+H\cdot S-f_\tau)]$; 对于一般效用，这种等式可能会失败，但如果我们另外让 $\tau$ 在某种意义上适应 $H$，它可以恢复。最后，在第二种情况 ($c\in[0,\infty)$) 中，我们获得了扩大空间上鲁棒效用最大化的对偶结果。但是如果我们另外让$\tau$在某种意义上适应$H$，它是可以恢复的。最后，在第二种情况 ($c\in[0,\infty)$) 中，我们获得了扩大空间上鲁棒效用最大化的对偶结果。但是如果我们另外让$\tau$在某种意义上适应$H$，它是可以恢复的。最后，在第二种情况 ($c\in[0,\infty)$) 中，我们获得了扩大空间上鲁棒效用最大化的对偶结果。