The mathematical modeling of tumor growth has a long history, and has been mathematically formulated in several different ways. Here we tackle the problem in the case of a continuous distribution using mathematical tools from statistical physics. To this extent, we introduce a novel kinetic model of growth which highlights the role of microscopic transitions in determining a variety of equilibrium distributions. At variance with other approaches, the mesoscopic description in terms of elementary interactions allows to design precise microscopic feedback control therapies, able to influence the natural tumor growth and to mitigate the risk factors involved in big sized tumors. We further show that under a suitable scaling both the free and controlled growth models correspond to Fokker–Planck type equations for the growth distribution with variable coefficients of diffusion and drift, whose steady solutions in the free case are given by a class of generalized Gamma densities which can be characterized by fat tails. In this scaling the feedback control produces an explicit modification of the drift operator, which is shown to strongly modify the emerging distribution for the tumor size. In particular, the size distributions in presence of therapies manifest slim tails in all growth models, which corresponds to a marked mitigation of the risk factors. Numerical results confirming the theoretical analysis are also presented.

肿瘤生长的数学模型具有悠久的历史，并且已经以几种不同的方式进行了数学公式化。在这里，我们使用统计物理学中的数学工具来解决连续分布情况下的问题。在此程度上，我们介绍了一种新颖的生长动力学模型，该模型突出了微观转变在确定各种平衡分布中的作用。与其他方法不同，在基本相互作用方面的介观描述允许设计精确的微观反馈控制疗法，能够影响自然肿瘤的生长并减轻涉及大肿瘤的危险因素。我们进一步证明，在适当的缩放比例下，自由和受控增长模型均与具有可变扩散和漂移系数的增长分布的Fokker-Planck型方程相对应，其自由情况下的稳态解由一类广义伽玛密度给出它的特征可能是肥尾。在这种缩放中，反馈控制产生了对漂移算子的显式修改，这被显示为针对肿瘤大小强烈地改变了新出现的分布。特别是，在所有生长模型中，存在疗法的大小分布均显示出细长的尾巴，这对应于风险因素的显着缓解。数值结果也证实了理论分析。其自由情况下的稳态解由一类广义Gamma密度给出，这些密度可以用肥尾来表征。在这种缩放中，反馈控制产生了对漂移算子的显式修改，这被显示为针对肿瘤大小强烈地改变了新出现的分布。特别是，在所有生长模型中，存在疗法的大小分布均显示出细长的尾巴，这对应于风险因素的显着缓解。数值结果也证实了理论分析。其自由情况下的稳态解由一类广义Gamma密度给出，这些密度可以用肥尾来表征。在这种缩放中，反馈控制产生了对漂移算子的显式修改，这被显示为针对肿瘤大小强烈地改变了新出现的分布。特别是，在所有生长模型中，存在疗法的大小分布均显示出细长的尾巴，这对应于风险因素的显着缓解。数值结果也证实了理论分析。在存在治疗的情况下，大小分布在所有生长模型中均显示出纤细的尾巴，这对应于风险因素的显着缓解。数值结果也证实了理论分析。在存在治疗的情况下，大小分布在所有生长模型中均显示出纤细的尾巴，这对应于风险因素的显着缓解。数值结果也证实了理论分析。