A graph $G$ is $A-DS$ if every $A$-cospectral graph of $G$ is isomorphic to $G$. Denote by $K_n\setminus P_k$ the graph obtained from the complete graph $K_n$ with $n$ vertices by deleting all edges of a path $P_k$ with $k$ vertices. In 2014, Cámara and Haemers conjectured that $K_n\setminus P_k$ is $A-DS$ for every $2\le k\le n$. The conjecture has been confirmed for $k=n$ (Doob and Haemers, 2002), $2\le k\le 6$ (Cámara and Haemers, 2014), $7\le k\le 9$ (Mao et al., 2019) and $k\ge 20$ (Liu et al., 2020). In this paper, we completely settle the conjecture by proving the remaining cases.

中文翻译：

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完整图形的光谱表征消除了路径：完成Cámara–Haemers猜想的证明

图 $G$ 是 $\mathrm{一种}-d\mathrm{小号}$ 如果每个 $\mathrm{一种}$的-cospectral图 $G$ 同构 $G$。表示为${ķ}_{ñ}\setminus P_{ķ}$ 从完整图获得的图 ${ķ}_{ñ}$ 与 $ñ$ 通过删除路径的所有边来形成顶点 $P_{ķ}$ 与 $ķ$顶点。2014年，Cámara和Haemers推测${ķ}_{ñ}\setminus P_{ķ}$ 是 $\mathrm{一种}-d\mathrm{小号}$ 每一个 $2\le ķ\le ñ$。该猜想已被确认$ķ=ñ$ （Doob和Haemers，2002年）， $2\le ķ\le 6$ （Cámaraand Haemers，2014）， $7\le ķ\le 9$ （Mao et al。，2019）和 $ķ\ge 20$（Liu et al。，2020）。在本文中，我们通过证明剩余的情况来完全解决猜想。