In approximating solutions of nonstationary problems, various approaches are used to compute the solution at a new time level from a number of simpler (sub-)problems. Among these approaches are splitting methods. Standard splitting schemes are based on one or another additive splitting of the operator into “simpler” operators that are more convenient/easier for the computer implementation and use inhomogeneous (explicitly-implicit) time approximations. In this paper, a new class of splitting schemes is proposed that is characterized by an additive representation of the solution instead of the operator corresponding to the problem (called problem operator). A specific feature of the proposed splitting is that the resulting coupled equations for individual solution components consist of the time derivatives of the solution components. The proposed approaches are motivated by various applications, including multiscale methods, domain decomposition, and so on, where spatially local problems are solved and used to compute the solution. Unconditionally stable splitting schemes are constructed for a first-order evolution equation, which is considered in a finite-dimensional Hilbert space. In our splitting algorithms, we consider the decomposition of both the main operator of the system and the operator at the time derivative. Our goal is to provide a general framework that combines temporal splitting algorithms and spatial decomposition and its analysis. Applications of the framework will be studied separately.

在近似非平稳问题的解决方案中，各种方法用于根据许多较简单的（子）问题在新的时间级别上计算解决方案。在这些方法中，有分割方法。标准拆分方案基于将运算符一个或另一个加法拆分为“更简单”的运算符，这些运算符对于计算机实现更方便/更轻松，并且使用不均匀（显式-隐式）时间近似。在本文中，提出了一类新的分裂方案，其特征在于解的加法表示而不是与问题相对应的算子（称为问题算子）。提议的拆分的一个特定特征是，各个解决方案分量的最终耦合方程由解决方案分量的时间导数组成。所提出的方法受多种应用的启发，包括多尺度方法，域分解等，其中解决了空间局部问题并将其用于计算解。为一阶演化方程构造了无条件稳定的分裂方案，该方程在有限维希尔伯特空间中被考虑。在我们的拆分算法中，我们考虑系统主算子和时间导数上算子的分解。我们的目标是提供一个组合了时间分割算法和空间分解及其分析的通用框架。该框架的应用将单独研究。解决了空间局部问题并用于计算解决方案的地方。为一阶演化方程构造了无条件稳定的分裂方案，该方程在有限维希尔伯特空间中被考虑。在我们的拆分算法中，我们考虑系统主算子和时间导数上算子的分解。我们的目标是提供一个组合了时间分割算法和空间分解及其分析的通用框架。该框架的应用将单独研究。解决了空间局部问题并用于计算解决方案的地方。为一阶演化方程构造了无条件稳定的分裂方案，该方程在有限维希尔伯特空间中被考虑。在我们的拆分算法中，我们考虑系统主算子和时间导数上算子的分解。我们的目标是提供一个组合了时间分割算法和空间分解及其分析的通用框架。该框架的应用将单独研究。我们考虑系统的主要算子和算子在时间导数上的分解。我们的目标是提供一个组合了时间分割算法和空间分解及其分析的通用框架。该框架的应用将单独研究。我们考虑系统的主要算子和算子在时间导数上的分解。我们的目标是提供一个组合了时间分割算法和空间分解及其分析的通用框架。该框架的应用将单独研究。