In this article, we show that the Brownian motion on the circle constructed by Lévy (1959) is a regular Euclidean Brownian motion on the half-circle with its own mirror image on the other half-circle, and is degenerated in the sense of Minlos (1959). This raises the question of what the white noise is on the circle. We then formally define the white noise space and its associated Brownian bridge on the circle.

中文翻译：

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关于Lévy的布朗运动和圆上的白噪声空间

在本文中，我们证明，Lévy（1959）构造的圆上的布朗运动是半圆上的常规欧几里得布朗运动，另一半圆上具有自己的镜像，并且在米洛斯意义上退化（1959）。这就提出了一个问题，即圆上有什么白噪声。然后，我们在圆上正式定义白噪声空间及其关联的布朗桥。