Let ${\sigma }_k\left(G\right)=min\{{\sum }_{i=1}^k{d}_G\left(v_i\right):\{v_1,v_2,\dots ,v_k\}\text{is an independent set of}G\}$ for a graph $G$ and an integer $k\ge 1$. In 1991, Egawa et al. (1991) generalized a famous result on the existence of a hamiltonian cycle given by Ore (1960). In this paper, we will enhance the result of Egawa et al.. by providing the following result: Let $G$ be a $k$-connected graph ($k\ge 2$) and let $S$ be an any vertex set with $\left|S\right|\le k$. Then $G$ has a cycle of length at least $min\{\left|V\left(G\right)\right|,\frac{2}{k}{\sigma }_k\left(G\right)\}$ passing through $S$.

中文翻译：

---

通过指定顶点的长周期

让 ${\sigma }_{ķ}（G）=分\{{\sum }_{\mathrm{一世}=\mathrm{1个}}^{ķ}{d}_G（v_{\mathrm{一世}}）：\{v_{\mathrm{1个}}，v_2，\dots ，v_{ķ}\}\text{是一组独立的}G\}$ 对于图 $G$ 和一个整数 $ķ\ge \mathrm{1个}$。1991年，Egawa等人。（１９９１）对由Ｏｒｅ（１９６０）给出的哈密顿循环的存在给出了著名的结论。在本文中，我们将通过提供以下结果来增强Egawa等人的结果：$G$ 成为 $ķ$连接图（$ķ\ge 2$） 然后让 $\mathrm{小号}$ 与任何顶点集 $\left|\mathrm{小号}\right|\le ķ$。然后$G$ 具有至少一个长度的周期 $分\{\left|V（G）\right|，\frac{2}{ķ}{\sigma }_{ķ}（G）\}$ 通过 $\mathrm{小号}$。