Let $u^\varepsilon$ and $u$ be viscosity solutions of the oscillatory Hamilton-Jacobi equation and its corresponding effective equation. Given bounded, Lipschitz initial data, we present a simple proof to obtain the optimal rate of convergence $\mathcal{O}(\varepsilon)$ of $u^\varepsilon \rightarrow u$ as $\varepsilon \rightarrow 0^+$ for a large class of convex Hamiltonians $H(x,y,p)$ in one dimension. This class includes the Hamiltonians from classical mechanics with separable potential. The proof makes use of optimal control theory and a quantitative version of the ergodic theorem for periodic functions in dimension $n = 1$.

中文翻译：

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一维凸Hamilton-Jacobi方程周期性均匀化的收敛速度

设 $u^\varepsilon$ 和 $u$ 是振荡 Hamilton-Jacobi 方程及其相应有效方程的粘度解。给定有界的 Lipschitz 初始数据，我们提出了一个简单的证明来获得 $u^\varepsilon \rightarrow u$ 的最佳收敛速度 $\mathcal{O}(\varepsilon)$ 作为 $\varepsilon \rightarrow 0^+$对于一维中的一大类凸哈密顿量 $H(x,y,p)$。该类包括来自经典力学的具有可分离势的哈密顿量。该证明利用最优控制理论和量化版本的遍历定理，用于维度 $n = 1$ 的周期函数。