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The existential transversal property: A generalization of homogeneity and its impact on semigroups
Transactions of the American Mathematical Society ( IF 1.2 ) Pub Date : 2020-12-03 , DOI: 10.1090/tran/8285 João Araújo , Wolfram Bentz , Peter Cameron
Transactions of the American Mathematical Society ( IF 1.2 ) Pub Date : 2020-12-03 , DOI: 10.1090/tran/8285 João Araújo , Wolfram Bentz , Peter Cameron
Let $G$ be a permutation group of degree $n$, and $k$ a positive integer with $k\le n$. We say that $G$ has the $k$-existential property, or $k$-et for short, if there exists a $k$-subset $A$ of the domain $\Omega$ such that, for any $k$-partition $\mathcal{P}$ of $\Omega$, there exists $g\in G$ mapping $A$ to a transversal (a section) for $\mathcal{P}$. This property is a substantial weakening of the $k$-universal transversal property, or $k$-ut, investigated by the first and third author, which required this condition to hold for all $k$-subsets $A$ of the domain. Our first task in this paper is to investigate the $k$-et property and to decide which groups satisfy it. For example, we show that, for $8\le k\le n/2$, the only groups with $k$-et are the symmetric and alternating groups; this is best possible since the Mathieu group $M_{24}$ has $7$-et. We determine all groups with $k$-et for $4\le k\le n/2$, up to some unresolved cases for $k=4,5$, and describe the property for $k=2,3$ in permutation group language. In the previous work, the results were applied to semigroups, in particular, to the question of when the semigroup $\langle G,t\rangle$ is regular, where $t$ is a map of rank $k$ (with $k
中文翻译：
存在的横向性质：同质性的推广及其对半群的影响
令 $G$ 是一个度数为 $n$ 的置换群，而 $k$ 是一个具有 $k\le n$ 的正整数。我们说 $G$ 具有 $k$-existential 属性，或简称 $k$-et，如果存在域 $\Omega$ 的 $k$-子集 $A$ 使得，对于任何 $k $\Omega$ 的 $-partition $\mathcal{P}$，存在 $g\in G$ 将 $A$ 映射到 $\mathcal{P}$ 的横向（截面）。此属性是第一作者和第三作者调查的 $k$-通用横向属性或 $k$-ut 的实质性弱化，该属性要求此条件对域的所有 $k$-子集 $A$ 成立. 我们在本文中的第一个任务是研究 $k$-et 属性并决定哪些组满足它。例如，我们证明，对于 $8\le k\le n/2$，仅有 $k$-et 的群是对称群和交替群；这是最好的可能，因为 Mathieu 组 $M_{24}$ 有 $7$-et。我们用 $k$-et 确定 $4\le k\le n/2$ 的所有组，直到 $k=4,5$ 的一些未解决的情况，并在排列中描述 $k=2,3$ 的属性群体语言。在之前的工作中，结果被应用于半群，特别是半群 $\langle G,t\rangle$ 何时是正则的问题，其中 $t$ 是秩 $k$（与 $k
更新日期：2020-12-03
中文翻译：
存在的横向性质：同质性的推广及其对半群的影响
令 $G$ 是一个度数为 $n$ 的置换群，而 $k$ 是一个具有 $k\le n$ 的正整数。我们说 $G$ 具有 $k$-existential 属性，或简称 $k$-et，如果存在域 $\Omega$ 的 $k$-子集 $A$ 使得，对于任何 $k $\Omega$ 的 $-partition $\mathcal{P}$，存在 $g\in G$ 将 $A$ 映射到 $\mathcal{P}$ 的横向（截面）。此属性是第一作者和第三作者调查的 $k$-通用横向属性或 $k$-ut 的实质性弱化，该属性要求此条件对域的所有 $k$-子集 $A$ 成立. 我们在本文中的第一个任务是研究 $k$-et 属性并决定哪些组满足它。例如，我们证明，对于 $8\le k\le n/2$，仅有 $k$-et 的群是对称群和交替群；这是最好的可能，因为 Mathieu 组 $M_{24}$ 有 $7$-et。我们用 $k$-et 确定 $4\le k\le n/2$ 的所有组，直到 $k=4,5$ 的一些未解决的情况，并在排列中描述 $k=2,3$ 的属性群体语言。在之前的工作中，结果被应用于半群，特别是半群 $\langle G,t\rangle$ 何时是正则的问题，其中 $t$ 是秩 $k$（与 $k
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