SIAM Journal on Numerical Analysis, Volume 59, Issue 1, Page 88-118, January 2021.
Reproducing kernel (RK) approximations are meshfree methods that construct shape functions from sets of scattered data. We present an asymptotically compatible (AC) RK collocation method for nonlocal diffusion models with Dirichlet boundary condition. The numerical scheme is shown to be convergent to both nonlocal diffusion and its corresponding local limit as nonlocal interaction vanishes. The analysis is carried out on a special family of rectilinear Cartesian grids for a linear RK method with designed kernel support. The key idea for the stability of the RK collocation scheme is to compare the collocation scheme with the standard Galerkin scheme, which is stable. In addition, assembling the stiffness matrix of the nonlocal problem requires costly computational resources because high-order Gaussian quadrature is necessary to evaluate the integral. We thus provide a remedy to the problem by introducing a quasi-discrete nonlocal diffusion operator for which no numerical quadrature is further needed after applying the RK collocation scheme. The quasi-discrete nonlocal diffusion operator combined with RK collocation is shown to be convergent to the correct local diffusion problem by taking the limits of nonlocal interaction and spatial resolution simultaneously. The theoretical results are then validated with numerical experiments. We additionally illustrate a connection between the proposed technique and an existing optimization based approach based on generalized moving least squares.

中文翻译：

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非局部扩散的渐近兼容复制核配置和无网格集成

SIAM数值分析学报，第59卷，第1期，第88-118页，2021年1月。
再生核（RK）近似是无网格方法，可从分散的数据集中构造形状函数。我们提出了一种具有Dirichlet边界条件的非局部扩散模型的渐近兼容（AC）RK配置方法。随着非局部相互作用的消失，数值方案被证明收敛于非局部扩散及其对应的局部极限。该分析是针对带有设计内核支持的线性RK方法的特殊直角笛卡尔网格系列进行的。RK配置方案稳定性的关键思想是将配置方案与稳定的标准Galerkin方案进行比较。此外，组装非局部问题的刚度矩阵需要昂贵的计算资源，因为需要高阶高斯正交来评估积分。因此，我们通过引入准离散的非局部扩散算子来解决该问题，该算子在应用RK配置方案后不再需要数值正交。通过同时考虑非局部相互作用和空间分辨率的限制，将准离散的非局部扩散算子与RK配置结合起来可以收敛到正确的局部扩散问题。然后通过数值实验验证了理论结果。我们另外说明了提出的技术与基于广义移动最小二乘法的现有基于优化的方法之间的联系。因此，我们通过引入准离散的非局部扩散算子来解决该问题，该算子在应用RK配置方案后不再需要数值正交。通过同时考虑非局部相互作用和空间分辨率的限制，将准离散的非局部扩散算子与RK配置结合起来可以收敛到正确的局部扩散问题。然后通过数值实验验证了理论结果。我们另外说明了提出的技术与基于广义移动最小二乘法的现有基于优化的方法之间的联系。因此，我们通过引入准离散的非局部扩散算子来解决该问题，该算子在应用RK配置方案后不再需要数值正交。通过同时考虑非局部相互作用和空间分辨率的限制，将准离散的非局部扩散算子与RK配置结合起来，可以收敛到正确的局部扩散问题。然后通过数值实验验证了理论结果。我们另外说明了提出的技术与基于广义移动最小二乘法的现有基于优化的方法之间的联系。通过同时考虑非局部相互作用和空间分辨率的限制，将准离散的非局部扩散算子与RK配置结合起来可以收敛到正确的局部扩散问题。然后通过数值实验验证了理论结果。我们另外说明了提出的技术与基于广义移动最小二乘法的现有基于优化的方法之间的联系。通过同时考虑非局部相互作用和空间分辨率的限制，将准离散非局部扩散算子与RK配置结合起来可以收敛到正确的局部扩散问题。然后通过数值实验验证了理论结果。我们另外说明了提出的技术与基于广义移动最小二乘法的现有基于优化的方法之间的联系。