SIAM Journal on Control and Optimization, Volume 59, Issue 1, Page 103-130, January 2021.
We consider linear differential-algebraic equations (DAEs) of the form $E\dot x=Hx$ and the Kronecker canonical form (KCF) [L. Kronecker, Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1890, pp. 1225--1237] of the corresponding matrix pencils $sE-H$. We also consider linear control systems and their Morse canonical form (MCF) [A. Morse, SIAM J. Control, 11 (1973), pp. 446--465; B. P. Molinari, Internat. J. Control, 28 (1978), pp. 493--510]. For a linear DAE, a procedure called explicitation is proposed, which attaches to any linear DAE a linear control system defined up to a coordinates change, a feedback transformation, and an output injection. Then we compare subspaces associated to a DAE in a geometric way with those associated (also in a geometric way) to a control system, namely, we compare the Wong sequences of DAEs and invariant subspaces of control systems. We prove that the KCF of linear DAEs and the MCF of control systems have a perfect correspondence and that their invariants are related. In this way, we connect the geometric analysis of linear DAEs with the classical geometric linear control theory. Finally, we propose a concept called internal equivalence for DAEs and discuss its relation with internal regularity, i.e., the existence and uniqueness of solutions.

中文翻译：

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基于线性控制理论的微分-代数方程的几何分析

SIAM控制与优化杂志，第59卷，第1期，第103-130页，2021年1月。
我们考虑$ E \ dot x = Hx $形式的线性微分代数方程（DAE）和Kronecker规范形式（KCF）[L。克罗内克（Kronecker），《相应的铅笔》 $ sE-H $。我们还考虑了线性控制系统及其摩尔斯规范形式（MCF）[A。Morse，SIAM J.Control，11（1973），第446--465页; 英国国际石油公司（BP）莫利纳里（BP Molinari），国际。J. Control，28（1978），第493--510页]。对于线性DAE，提出了一种称为“显式”的过程，该过程将一个线性控制系统附加到任何线性DAE上，该线性控制系统定义为坐标更改，反馈变换和输出注入。然后，我们以几何方式将与DAE关联的子空间与（也以几何方式）与控制系统关联的子空间进行比较，即：我们比较了DAE的Wong序列和控制系统的不变子空间。我们证明线性DAE的KCF和控制系统的MCF具有完美的对应关系，并且它们的不变量是相关的。这样，我们将线性DAE的几何分析与经典几何线性控制理论联系起来。最后，我们提出了一个DAE的内部等效概念，并讨论了它与内部规则性的关系，即解决方案的存在性和唯一性。