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On the spectrality of self-affine measures with four digits on ℝ2
International Journal of Mathematics ( IF 0.604 ) Pub Date : 2021-01-06 , DOI: 10.1142/s0129167x2150004x
Ming-Liang Chen; Zhi-Hui Yan

In this paper, we study the spectral property of the self-affine measure μR,𝒟 generated by an expanding real matrix R=diag(b,b) and the four-element digit set 𝒟={00,10,01,11}. We show that μR,𝒟 is a spectral measure, i.e. there exists a discrete set Λ2 such that the collection of exponential functions {e2πiλ,x:λΛ} forms an orthonormal basis for L2(μ), if and only if b=2k for some k. A similar characterization for Bernoulli convolution is provided by Dai [X.-R. Dai, When does a Bernoulli convolution admit a spectrum? Adv. Math.231(3) (2012) 1681–1693], over which b=2k. Furthermore, we provide an equivalent characterization for the maximal bi-zero set of μR,𝒟 by extending the concept of tree-mapping in [X.-R. Dai, X.-G. He and C. K. Lai, Spectral property of Cantor measures with consecutive digits, Adv. Math.242 (2013) 187–208]. We also extend these results to the more general self-affine measures.



中文翻译:

关于ℝ2上四位数的自仿射测度的谱

在本文中,我们研究了自仿射测度的光谱特性 μ[R𝒟 由扩展的实数矩阵生成 [R=诊断bb 和四元素数字集 𝒟={001个001个-1个-1个}。我们证明μ[R𝒟 是频谱量度,即存在离散集 Λ2 这样指数函数的集合 {Ë-2π一世λXλΛ} 构成 大号2μ,当且仅当 b=2ķ 对于一些 ķ。Dai [X.-R.]提供了伯努利卷积的类似特征。戴,伯努利卷积何时进入频谱?进阶 数学。231(3)(2012)1681–1693],b=2ķ。此外,我们提供了最大双零集的等价刻画μ[R𝒟通过扩展[X.-R.]中的树映射概念 戴X.-G. 他和CK Lai(Cantor)的光谱属性具有连续数字,高级。数学。242(2013)187–208]。我们还将这些结果扩展到更一般的自仿射方法。

更新日期:2021-01-18
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