Abstract

For a commutative algebra A over $\mathbb{C},$ denote $\mathfrak{g}=\text{Der}(A).$ A module over the smash product $A\#U(\mathfrak{g})$ is called a jet $\mathfrak{g}$-module, where $U(\mathfrak{g})$ is the universal enveloping algebra of $\mathfrak{g}.$ In the present paper, we study jet modules in the case of $A=\mathbb{C}[t_1^{\pm 1},t_2].$ We show that $A\#U(\mathfrak{g})\cong \mathcal{D}\otimes U(L),$ where $\mathcal{D}$ is the Weyl algebra $\mathbb{C}[t_1^{\pm 1},t_2,\frac{\partial }{\partial t_1},\frac{\partial }{\partial t_2}],$ and L is a Lie subalgebra of $A\#U(\mathfrak{g})$ called the jet Lie algebra corresponding to $\mathfrak{g}.$ Using a Lie algebra isomorphism $\theta :L\to {\mathfrak{m}}_{1,0}\Delta ,$ where ${\mathfrak{m}}_{1,0}\Delta$ is the subalgebra of vector fields vanishing at the point (1, 0), we show that any irreducible finite dimensional L-module is isomorphic to an irreducible $\mathfrak{g}{\mathfrak{l}}_2$-module. As an application, we give tensor product realizations of irreducible jet modules over $\mathfrak{g}$ with uniformly bounded weight spaces.

摘要

对于交换代数A over$\mathbb{C}，$ 表示 $\mathfrak{G}=\text{er}（\mathrm{一种}）。$ 粉碎产品上的模块 $\mathrm{一种}＃ü（\mathfrak{G}）$ 被称为喷气机 $\mathfrak{G}$-模块，在哪里 $ü（\mathfrak{G}）$ 是...的通用包络代数 $\mathfrak{G}。$ 在本文中，我们研究了在以下情况下的喷射模块 $\mathrm{一种}=\mathbb{C}[{Ť}_{\mathrm{1个}}^{\pm \mathrm{1个}}，{Ť}_2]。$ 我们证明 $\mathrm{一种}＃ü（\mathfrak{G}）\cong \mathcal{d}\otimes ü（\mathrm{大号}），$ 哪里 $\mathcal{d}$ 是魏尔代数 $\mathbb{C}[{Ť}_{\mathrm{1个}}^{\pm \mathrm{1个}}，{Ť}_2，\frac{\partial }{\partial {Ť}_{\mathrm{1个}}}，\frac{\partial }{\partial {Ť}_2}]，$并且L是的李子代数$\mathrm{一种}＃ü（\mathfrak{G}）$ 称为对应的射流李代数 $\mathfrak{G}。$ 使用李代数同构 $\theta ：\mathrm{大号}\to {\mathfrak{米}}_{\mathrm{1个}，0}\Delta ，$ 哪里 ${\mathfrak{米}}_{\mathrm{1个}，0}\Delta$是在（1，0）点消失的矢量场的子代数，我们证明了任何不可约的有限维L-模都是不可约的同构$\mathfrak{G}{\mathfrak{升}}_2$-模块。作为应用程序，我们给出了不可约射流模块的张量积实现$\mathfrak{G}$ 具有均匀界定的权重空间。