Poincare-Sobolev-type inequalities involving rearrangement-invariant norms on the entire $\mathbb{R}^n$ are provided. Namely, inequalities of the type $\|u-P\|_{Y(\mathbb{R}^n)}\leq C\|\nabla^m u\|_{X(\mathbb{R}^n)}$, where $X$ and $Y$ are either rearrangement-invariant spaces over $\mathbb{R}^n$ or Orlicz spaces over $\mathbb{R}^n$, $u$ is a $m-$times weakly differentiable function whose gradient is in $X$, $P$ is a polynomial of order at most $m-1$, depending on $u$, and $C$ is a constant independent of $u$, are studied. In a sense optimal rearrangement-invariant spaces or Orlicz spaces $Y$ in these inequalities when the space $X$ is fixed are found. A variety of particular examples for customary function spaces are also provided.

中文翻译：

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整个空间具有重排不变范数的庞加莱-索博列夫不等式

提供了涉及整个 $\mathbb{R}^n$ 上的重排不变范数的 Poincare-Sobolev 型不等式。即，$\|uP\|_{Y(\mathbb{R}^n)}\leq C\|\nabla^mu\|_{X(\mathbb{R}^n)}$ 类型的不等式，其中 $X$ 和 $Y$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的重排不变空间或 $\mathbb{R}^n$ 上的 Orlicz 空间，$u$ 是 $m-$times 弱研究了梯度为$X$的可微函数，$P$是至多$m-1$阶的多项式，取决于$u$，$C$是独立于$u$的常数。在某种意义上，当空间$X$ 固定时，找到了这些不等式中的最优重排不变空间或Orlicz 空间$Y$。还提供了用于常规功能空间的各种特定示例。